欧几里得

这人是真的厉害！
辗转相除法

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;int gcd(int a, int b)  // 欧几里得算法,a非负，
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}int main()
{int a,b;cin >> a >> b;cout <<gcd(a,b);return 0;
}

定理

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

证明

a可以表示成a = kb + r,则 r = a mod b;
r = a - kb则a = r mod b;
易得 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)；

扩展欧几里得

扩展欧几里得算法的描述是：一定存在整数 x, y 满足等式 a * x + b * y = gcd(a,b)
这里的a,b是已知，gcd(a,b)表示的是a和b的最大公约数，所以扩展欧几里得算法既可以计算出最大公约数gcd(a,b)，又可以计算出变量x,y的一组解。如何求解呢？

计算最大公约数的下一步，带入等式：gcd(b, a % b) = bx1 + (a % b) * y
即就是：gcd(b, a % b) = bx1 + (a - (a / b) * b) * y1
gcd(b, a % b) = a * y1 + b * (x1 - (a / b) * y1 )
在回过头来看看等式当b不等于0时：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
所以，x = y1 ; y = x1 - （a / b） * y1

所以可以递归的求解x，y。那退出条件是什么呢？
我们可以看到当b == 0时，求出最大公约数。考虑一下当b == 0时，a * x = gcd(a, 0) = a。
此时，x == 1，y取0即可计算出一组特解。

普通版

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, x, y);int temp = y;y = x - (a / b) * y;x = temp;return d;
}

升级版

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}

扩展欧几里得算法可以计算二元一次方程组是否存在整数解，并且求出一组解
欧几里得算法只能用来求整数解（因为最大公约数的缘故）

二元一次方程：ax + by = c

1）当a == 0 或 b == 0的时候，方程转为一元一次方程，可直接求得。

2）当c不是 gcd(a,b)的倍数的时候，方程无解。
因为a和b都是他因子的倍数，这个毫无疑问，所以ax+by(a, b的线性组合)也是gcd(a, b)的倍数。如果c不是gcd(a, b)的倍数，那么两边不相等，无解。这条结论叫做“裴蜀定理”。

3）当c是gcd(a, b)的倍数，设g = gcd(a, b)，则用ax + by = g求解出的一组解（x0，y0）,有ax + by = c 求出的一组解为(x0c/g,y0c/g)

如果你理解了，可以挑战一下青蛙的约会这道题。
题解：http://blog.csdn.net/SwordHoly/archive/2009/08/07/4423543.aspx可以参考一下

用扩展欧几里得算法求乘法逆元

这里先说一下乘法逆元，我们都知道，‘取模%’ 具有加、减、乘法的分配率即：
1). (a+b) % c = ((a%c) + (b%c))%c
2). (a-b) % c = ((a%c) - (b%c))%c
3). (a× \times×b) % c = ((a%c)× \times× (b%c))%c
这样的好处就是，如果a+b+…+n计算出来的值太大的话，可以通过分配率来计算出每一步的值在求余。
除法没有分配率，但是有乘法逆元。就是将除法转化为乘法。

逆元：设c是b的逆元，则有ax ≡ \equiv≡ 1(mod p)；
(a/b)mod p = (a/b) * 1(mod p) = (a/b)bx (mod p) = ax(mod p)

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1;（定理的证明在这里就不叙述了）

对于ax + by = 1，可以看出x是a模b的乘法逆元，y是b模a的乘法逆元。

中国剩余定理(孙子定理)利用乘法逆元

中国剩余定理这样描述，给出以下一元线性同余方程组

给出你n个ai和mi，求出符合题意的X值，一般输出最小解。

ti 要用扩展欧几里得算法e_gcd（）计算。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。
例题中三个模数 m1=3，m2=5，m3=7；

余数a1=2，a2=3，a3=2；

M=105，M1=35 , M2=21，M3=15；

t1=2，t2=1，t3=1;

70=t1M1，21=t2M2，15=t3*M3

X =（ a1 * t1 * M1 + a2 * t2 * M2 + a3 * t3 * M3）%M=（ 2 * 2 * 35 + 3 * 1 * 21 + 2 * 2 * 15）%105=23

适用于n个mi两两互质的情况。

代码


//n个mi互质
ll m[101];ll a[101];//m[]存放互质的数，a[]存放余数
void e_gcd(ll a,ll b,ll &x, ll &y){//计算逆元 if(b==0){x=1;y=0;return;}e_gcd(b,a%b,x,y);ll temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
}
ll CRT(){ll M=1;for(int i=0;i<n;i++) M*=m[i];ll ret=0;for(int i=0;i<n;i++){ll x,y;ll tm=M/m[i];//计算Mie_gcd(tm,m[i],x,y);//计算逆元x ret=(ret+x*a[i]*tm)%M;//计算结果值 }return (ret+M)%M;
}

126 x 2 +225 x 2 + 280 x 4 = 247 (mod 315)

欧几里得，扩展欧几里得，孙子定理相关推荐

数论一之定理证明——裴蜀/威尔逊/费马/扩展欧几里得/[扩展]欧拉/[扩展]中国剩余定理，欧拉函数，逆元，剩余系，筛法
打死没想到会在H老师处学懂数论同余,整除模运算埃式筛法欧拉筛法最大公约数和最小公倍数辗转相除法更相减损术裴蜀定理威尔逊定理费马定理同余等价类.剩余系.缩系欧拉函数欧拉定理扩 ...
欧几里得扩展欧几里得
欧几里得 & 扩展欧几里得时间复杂度T(n):O(log2n); 空间复杂度S(n):O(n); Advantages: 1. 时间复杂度不高,和普通欧几里得一样: 2. 代 ...
【欧几里得扩展欧几里得】
欧几里得 LL gcd(LL a,LL b){return (b==0) ? a : gcd(b,a%b);} 扩展欧几里得 int ex_gcd(int a,int b,int &x,int ...
欧几里得+扩展欧几里得+RSA
欧几里得算法: 就是辗转相除法,gcd(a,b)=gcd(b,a%b), 实现简单,用途广泛,模板如下: int gcd(int a,int b)//或者都取 long long {return b! ...
欧拉降幂及其扩展欧拉降幂
欧拉降幂: 从公式来看,需要使用快速幂运算和欧拉函数 #include<bits/stdc++.h>using namespace std; typedef __int64 LL;cons ...
欧几里得扩展欧几里得
原博网址:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数 ...
【笔记】欧几里得（扩展欧几里得）
欧几里得本质:利用辗转相减法求最大公约数,即 gcd(a, b). 数学表达: 设 a > b ,则 gcd(a, b) = gcd(a-b, ...
欧拉定理相关及扩展欧几里得
威尔逊定理.费马定理.欧拉函数.欧拉定理.逆元.exgcd 威尔逊定理: ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) (p-1)! \equiv -1 \pmod p (p−1)!≡− ...
扩展欧几里得 POJ 1061
感觉这道题目的数据好水啊...我的代码我都觉得姿势特别奇怪...竟然还过了... 好吧,原来不是姿势奇怪,而是逆元需要用的时候是余数也需要的时候,这里的余数是不需要的,所以就AC了就说一下碰到的问题 ...
Java实现算法导论中求解模线性方程解（基于最大公约数欧几里得扩展算法）
基于最大公约数欧几里得扩展算法求解算法导论中模线性方程解.具体要结合算法导论中的有关数论算法章节理解,具体代码如下: package cn.ansj;/*假设方程ax=b(mod n)有解,且x0是方 ...

欧几里得，扩展欧几里得，孙子定理

欧几里得

扩展欧几里得

用扩展欧几里得算法求乘法逆元

中国剩余定理(孙子定理)利用乘法逆元

欧几里得，扩展欧几里得，孙子定理相关推荐

最新文章

热门文章