欧几里得算法、扩展欧几里得算法和中国剩余定理

欧几里得算法

求两个数a, b的最大公约数 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b)

根据 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a m o d b ) gcd(a, b) = gcd(b, a\mod{b}) gcd(a,b)=gcd(b,amodb)

复杂度： O ( log ⁡ N ) O(\log N) O(logN)，其中N和a,b同阶
参数： a , b a, b a,b 两个整数
返回： g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)

递归

int gcd(int a, int b) {if (b == 0)return a;elsereturn gcd(b, a % b);
}

递推

int gcd(int a, int b) {int t;while (b != 0) {t = a % b;a = b;b = t;}return a;
}

扩展欧几里得算法

求解二元一次不定方程： a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)

复杂度： O ( log ⁡ N ) O(\log N) O(logN)，其中N和a,b同阶
参数：
- a , b a, b a,b 两个整数
- x , y x, y x,y 引用，二元一次不定方程 a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)的一组解
返回： g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)

递归

int egcd(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;} else {int q = egcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return q;}
}

递推

int egcd(int a, int b, int &x, int &y) {int x0, y0, x1, y1;x0 = 1; y0 = 0;x1 = 0; y1 = 1;x = 0; y = 1;int r = a % b;int q = (a - r) / b;while (r) {x = x0 - q * x1; y = y0 - q * y1;x0 = x1; y0 = y1;x1 = x; y1 = y;a = b; b = r; r = a % b;q = (a - r) / b;}return b;
}

中国剩余定理

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）又称孙子定理，是数论中的一个定理。

古典数学问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

白话文就是：某物的数量除以3余2，除以5余3，除以7余2，某物的数量是多少？

答案：23

求出方程组 x ≡ a i ( m o d m i ) x \equiv a_i (\mod{m_i}) x≡ai(modmi) ( 1 ⩽ i ⩽ n ) (1 \leqslant i \leqslant n) (1⩽i⩽n)的解 x x x。其中 m 1 , m 2 , m 3 , . . . , m n m_1, m_2,m_3,...,m_{n} m1,m2,m3,...,mn两两互质。

令 M i = ∏ j ≠ i m j M_i=\prod_{j\neq i}^{}{m_j} Mi=∏j=imj。因为 ( M i , m i ) = 1 (M_i,m_i)=1 (Mi,mi)=1，故存在 p i p_i pi和 q i q_i qi，使得 M i p i + m i q i = 1 M_i p_i + m_i q_i = 1 Mipi+miqi=1。

令 e i = M i p i e_i = M_i p_i ei=Mipi，有：
e i ≡ { 0 ( m o d m j ) j ≠ i 1 ( m o d m j ) j = i e_i \equiv \begin{cases} 0(\mod{m_j}) & j \neq i \\ 1(\mod{m_j}) & j = i \end{cases} ei≡{0(modmj)1(modmj)j=ij=i
故 e 1 a 1 + e 2 a 2 + ⋯ + e n a n e_1 a_1 + e_2 a_2 + \cdots + e_{n}a_{n} e1a1+e2a2+⋯+enan是方程的一个解

在 [ 0 , ∏ i = 1 n m i ) [0,\prod_{i=1}^{n}{m_i}) [0,∏i=1nmi)中只有唯一解，将求出的解对 ∏ i = 1 n m i \prod_{i=1}^{n}{m_i} ∏i=1nmi取模即可。

复杂度： O ( n log ⁡ m ) O(n \log m) O(nlogm) 其中 m m m和每个 m i m_i mi同阶
参数：
- a , m a,m a,m 第 i i i个方程表示为 x ≡ a i ( m o d m i ) x \equiv a_i (\mod{m_i}) x≡ai(modmi)
- n n n 方程个数
返回：一个解

int CRT(int a[], int m[], int n) {int M = 1;for (int i = 0; i < n; i++)M *= m[i];int X = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int Mi = M / m[i];int x, y;egcd(Mi, m[i], x, y);X += a[i] * Mi * x;}return X %= M;
}

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