欧几里得、扩展欧几里得、同余

一、同余：
1。若整数a和整数b除以正整数m的余数相等，则称a，b模m同余，记作a≡b（mod m）。

2。费马小定理：若p是质数，则对于任意整数a，有a^p ≡a（mod p）。

3。欧拉定理：若正整数a，n互质，则 a^φ(n)≡1(mod n) ,其中φ(n)是欧拉函数。

4。若正整数a，n互质，则对于任意正整数b，有a^b≡a^b ^mod ^φ(n)(mod n)。

很多问题要求我们对一个质数p取模后输出。面对乘方算式，我们可以先把底数对p取模（底数不是p的倍数）、指数对φ（p）取模，再计算乘方。

若a，n不一定互质且b＞φ（n）时，有a^b≡a^b ^mod ^φ(n) ⁺ ^φ(n) (mod n)。
这意味着即使底数与模数不互质，我们也有办法把指数的规模缩小到容易计算的范围。

5。若正整数a，n互质，则满足a^x≡1（mod n）的最小正整数x0是φ(n)的约数。

二、扩展欧几里得算法：
1。对于任意整数a，b，存在一对整数x，y，满足 ax+by=gcd（a，b）。
求解ax+by=gcd（a，b）的一组特解x0，y0，并返回gcd（a，b）。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,x,y);int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);return d;
}int d=exgcd(a,b,x0,y0);

2。对于一般的方程ax+by=c，它有解当且仅当gcd（a，b）|c。
令d=gcd（a，b）。
其通解可以表示为：

x=c/d*x0+k*b/d;
y=c/d*y0-k*a/d;
k取遍整数集合。

x的最小非负整数解：

x=(x%(b/d)+(b/d))%(b/d);

y的最小非负整数解：

y=(y%(a/d)+(a/d))%(a/d);

三、乘法逆元：
遇到（a/b）%p
或者（a/b）%m
1。当模数p为质数时，b^p-2即为b的模p乘法逆元。
2。只保证b，m互质时，可以通过求解同余方程b*x≡1（mod m）求得其逆元。

int inverse(int b,int m)
{int x,y;int d=exgcd(b,m,x,y);return (x%m+m)%m;
}

3。若b，m不互质时，b模m的逆元从概念上来说是不存在的，但是（a/b）%m仍然是有值的。
（ a / b ） % m = （ a % （ b ∗ m ）） / b （a/b）\%m=（a\%（b*m））/b （a/b）%m=（a%（b∗m））/b

注意：a和m的乘积可能会太大而溢出。

4。若p是个质数：
i n v （ a ） = （ p − p / a ） i n v （ p % a ） % p 。 inv（a）=（p-p/a）inv（p\%a）\%p。 inv（a）=（p−p/a）inv（p%a）%p。
求t关于mod的逆元：
t＜mod

LL inv(LL i)
{if(i==1)return 1;return (mod-mod/i)*inv(mod%i)%mod;
}

线性时间复杂度求n个数关于mod的逆元：

LL inv[maxn];
void getInv(LL n)
{inv[1]=1;for(int i=2;i<n;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}

5。阶乘逆元

void init(int n)
{fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[n]=inverse(fac[n],mod);for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}

四、线性同余方程：
标准形式：ax≡b（mod m）
转化为：ax + my = b
线性同余方程有解当且仅当 g c d （ a ， m ） ∣ b gcd（a，m）|b gcd（a，m）∣b。
用扩展欧几里得求解即可求得x的通解及最小非负整数解。

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