实验环境：
1，Linux操作系统
2，QT3编程开发环境
3，C++编程语言

傅立叶变换和傅立叶反变换

1.1. 主要源代码

readImage() 从图像中读取数据
writeImage() 往图像中写入数据
fft() 快速傅立叶变换
ifft() 快速傅立叶反变换
adjustImageSize() 调整图像大小
fourier() 傅立叶变换
ifourier() 傅立叶反变换

1.1.1 从图像中读取数据

void ImageProcess::readImage(complex<double> data[], const QImage &srcImage)

{

byte *pImageBytes = srcImage.bits(); //数据首地址

int depth = srcImage.depth(); //每个像素的bit数

int lineBytes = srcImage.bytesPerLine(); //每行的字节数

int w = srcImage.width(); //宽

int h = srcImage.height(); //高

byte *pByte;

//遍历读取每个像素，并转换为灰度值

int i, j;

for(i = 0; i < h; i++)

{

for(j = 0; j < w; j++)

{

if(8 == depth) //采用了256色调色板，8位颜色索引

{

pByte = pImageBytes + i * lineBytes + j;

data[i * w + j] = complex<double>( *pByte, 0);

}

else if(32 == depth)//32位表示，数据格式为0xFFBBGGRR或0xAABBGGRR

{

pByte = pImageBytes + i * lineBytes + j * 4;

//根据RGB模式转化成YIQ色彩模式的方式，取Y作为灰度值

byte pixelValue = (byte)(0.299 * (float)pByte[0] + 0.587 * (float)pByte[1]

+ 0.114 * (float)pByte[2]);

data[i * w + j] = complex<double>( pixelValue, 0);

}

else

{

cout << "invalid format. depth = " << depth << "\n";

return;

}

}

}

}

1.1.2 将数据写入图像

//coef为比例系数，主要用来调整灰度值以便于观察

void ImageProcess::writeImage(QImage &destImage, const complex<double> data[], double coef)

{

int lineBytes = destImage.bytesPerLine();

int depth = destImage.depth();

int w = destImage.width();

int h = destImage.height();

byte *pImageBytes = destImage.bits();

byte *pByte;

for(int i = 0; i < h; i++)

{

for(int j = 0; j < w; j++)

{

double spectral = abs(data[i * w + j]) * coef; //灰度值调整

spectral = spectral > 255 ? 255 : spectral;

//根据图像格式写数据

if(8 == depth)

{

pByte = pImageBytes + i * lineBytes + j;

*pByte = spectral;

}

else if(32 == depth)

{

pByte = pImageBytes + i * lineBytes + j * 4;

pByte[0] = pByte[1] = pByte[2] = spectral;

}

else

{

return;

}

}

}

}

1.1.3 递归形式的快速傅立叶变换

//数组a为输入，数组y为输出，2的power次方为数组的长度

void ImageProcess::fft(const complex<double> a[], complex<double> y[], int power)

{

if(0 == power)

{

y[0] = a[0];

return;

}

int n = 1 << power;

double angle = 2 * PI / n;

complex<double> wn(cos(angle), sin(angle));

complex<double> w(1, 0);

complex<double> *a0 = new complex<double>[n / 2];

complex<double> *a1 = new complex<double>[n / 2];

complex<double> *y0 = new complex<double>[n / 2];

complex<double> *y1 = new complex<double>[n / 2];

for(int i = 0; i < n / 2; i ++)

{

a0[i] = a[2 * i];

a1[i] = a[2 * i + 1];

}

//分开成两个子fft过程

fft(a0, y0, power - 1);

fft(a1, y1, power - 1);

complex<double> u;

for(int k = 0; k < n / 2; k++) //蝶形算法

{

u = w * y1[k];

y[k] = y0[k] + u;

y[k + n / 2] = y0[k] - u;

w = w * wn;

}

delete[] a0;

delete[] a1;

delete[] y0;

delete[] y1;

}

1.1.4 快速傅立叶反变换

//y为输入，a为输出，2的power次方为数组的长度

void ImageProcess::ifft(const complex<double> y[], complex<double> a[], int power)

{

int count = 1 << power;

complex<double> *x = new complex<double>[count];

memcpy(x, y, sizeof(complex<double>) * count);

int i;

for(i = 0; i < count; i++)

{

x[i] = complex<double>(x[i].real(), -x[i].imag()); //共轭复数

}

fft(x, a, power); //调用快速傅立叶变换算法

for(i = 0; i < count; i++)

{

a[i] = complex<double>(a[i].real() / count, -a[i].imag() / count); //共轭复数

}

delete[] x;

}

1.1.5 调整图像的大小

//宽和高都截取为2的指数倍

void ImageProcess::adjustImageSize(QImage &image)

{

int w = 1;

int h = 1;

int width = image.width();

int height = image.height();

wp = 0, hp = 0;

while(w * 2 <= width) { w *= 2; wp++; }

while(h * 2 <= height) {h *= 2; hp++;}

QImage adjustedImage(w, h, image.depth(), image.numColors(), image.bitOrder());

byte *destBytes = adjustedImage.bits();

byte *srcBytes = image.bits();

int lineBytes = image.bytesPerLine();

int bytesPerPixel = image.depth() / 8; //每个象素的字节数

for(int i = 0; i < h; i++) //拷贝数据

{

memcpy(destBytes + i * w * bytesPerPixel, srcBytes + i * lineBytes,

sizeof(byte) * w * bytesPerPixel);

}

image = adjustedImage; //更新图像

}

1.1.6 傅立叶变换的主过程

void ImageProcess::fourier()

{

int w = currentImage.width();

int h = currentImage.height();

if(needAdjust) //调整图像的大小为2的幂次以便于快速傅立叶变换

{

adjustImageSize(currentImage); //调整大小

needAdjust = false;

if(currentImageData)

{

delete[] currentImageData;

}

currentImageData = new complex<double>[w * h];

readImage(currentImageData, currentImage); //读取数据

}

else if(NULL == currentImageData)

{

currentImageData = new complex<double>[w * h];

readImage(currentImageData, currentImage); //读取数据

}

w = currentImage.width(); //更新宽和高

h = currentImage.height();

complex<double> *TD = currentImageData; //当前读取的数据为时域

complex<double> *FD = new complex<double>[w * h]; //申请空间保存变换结果

int i, j;

for(i = 0; i < h; i++) //在x方向上对按行进行快速傅立叶变换

{

fft(&TD[w * i], &FD[w * i], wp);

}

memcpy(TD, FD, sizeof(complex<double>) * w * h);

complex<double> *columnt = new complex<double>[h];

complex<double> *columnf = new complex<double>[h];

for(i = 0; i < w; i++) //调整行列数据，在y方向上按列进行快速傅立叶变换

{

for(j = 0; j < h; j++)

{

columnt[j] = TD[j * w + i];

}

fft(columnt, columnf, hp);

for(j = 0; j < h; j++)

{

FD[j * w + i] = columnf[j];

}

}

delete[] columnt;

delete[] columnf;

writeImage(currentImage, FD, 0.02); //写入数据

delete[] currentImageData;

currentImageData = FD;

pDispLabel->setPixmap(QPixmap(currentImage));

}

1.1.7 傅立叶反变换

傅立叶反变换的思想与傅立叶变化相似，只是时域和频域互换，然后调用快速傅立叶反变换ifft而不是快速傅立叶变换fft。

1.2. 运行截图

1.2.1 正方形

输入一个256*256的图形，背景为白色，中间有一黑色的正方形，如图1-1所示。经过傅立叶变换后的结果如图1-2所示（注：没有采用平移到中心的方法）。

图1-1

图1-2

1.2.2 旋转45度

将图1-1旋转45度后的输入如图1-3所示。其傅立叶变换结果如图1-4所示。

图1-3

图1-4

1.2.3 输入长方形图像

输入图像如图1-5所示。傅立叶变换结果如图1-6所示。

图1-5

图1-6

1.2.4 傅立叶反变换

对傅立叶变换结果图1-2进行傅立叶反变换，其结果与原图1-1相同，如图1-7所示：

图1-7

图像增强

图像增强是一种很重要的图像处理技术，为了方便人们观察以及机器处理而去处理给定的一幅图像。有很多图像增强的方法，以下这部分实现了其中的平滑和锐化这两种方法。

2.1. 主要源码

2.1.1 平滑

平滑采用的模板是, 实现如下：

void ImageProcess::smooth()

{

int w = currentImage.width();

int h = currentImage.height();

if(NULL == currentImageData) //判断是否需要重新读取数据

{

currentImageData = new complex<double>[w * h];

readImage(currentImageData, currentImage);

}

//拷贝一份数据便于计算

complex<double> *buffer = new complex<double>[w * h];

memcpy(buffer, currentImageData, sizeof(complex<double>) * w * h);

//根据模板进行计算

//为了简化编码忽略了图像边界(i =0 or h, j =0 or w)，对于整体效果没有影响

int i, j;

for(i = 1; i < h - 1; i++)

{

for(j = 1; j < w - 1; j++)

{

complex<double> k;

k = buffer[(i - 1) * w + j - 1];

k += buffer[(i - 1) * w + j];

k += buffer[(i - 1) * w + j + 1];

k += buffer[i * w + j - 1];

k += buffer[i * w + j];

k += buffer[i * w + j + 1];

k += buffer[(i + 1) * w + j - 1];

k += buffer[(i + 1) * w + j];

k += buffer[(i + 1) * w + j + 1];

k = complex<double>(k.real() / 9, 0);

currentImageData[i * w + j] = k;

}

}

writeImage(currentImage, currentImageData);

pDispLabel->setPixmap(QPixmap(currentImage));

}

2.1.2 锐化

采用拉普拉斯锐化，其模板为，其实现如下：

void ImageProcess::sharp()

{

int w = currentImage.width();

int h = currentImage.height();

if(NULL == currentImageData) //判断是否需要读取数据

{

currentImageData = new complex<double>[w * h];

readImage(currentImageData, currentImage);

}

//拷贝一份数据便于计算

complex<double> *buffer = new complex<double>[w * h];

memcpy(buffer, currentImageData, sizeof(complex<double>) * w * h);

//根据模板进行计算

//为了简化编码忽略了图像边界(i =0 or h, j =0 or w)，对于整体效果没有影响

int i, j;

complex<double> k;

for(i = 1; i < h - 1; i++)

{

for(j = 1; j < w - 1; j++)

{

k = buffer[i * w + j];

k = complex<double>(k.real() * 5, 0);

k -= buffer[(i - 1) * w + j];

k -= buffer[i * w + j - 1];

k -= buffer[i * w + j + 1];

k -= buffer[(i + 1) * w + j];

currentImageData[i * w + j] = k;

}

}

writeImage(currentImage, currentImageData);

pDispLabel->setPixmap(QPixmap(currentImage));

}

2.2. 运行截图

输入图像2-1，其平滑结果为图2-2，锐化结果为 图2-3。

图2-1原来的图像

图2-2 平滑后的图像

图2-3 锐化后的图像

图像分析

这部分主要实现了图像的模板匹配。模板匹配是一种非常原始的模式识别方法。有很多模板匹配的算法。这里采用的算法是计算二者之间的相似度，在目标图像中选取一个坐标，将以该坐标为左上角选定一块区域，计算该区域与模板的相似度，相似度最大的点即为匹配之处。通过二者之间的差异度来判断其相似程度，差异度的计算：m = 。即将累加其像素之间的差值，为了提高计算速度，可以设置阀值，当m大于阀值时，认定该块区域不匹配，继续寻找下一区域。

3.1. 主要源码

void ImageProcess::match()

{

//让用户选取模板

QString fileName = QFileDialog::getOpenFileName("/home/tanqiyu", "Images (*.png *.xpm

.jpg)", this, "open file dialog", "Choose a model image");

if(QString::null == fileName)

{

return;

}

//读取模板数据

QImage modelImage(fileName);

int mw = modelImage.width();

int mh = modelImage.height();

complex<double> *modelImageData = new complex<double>[mw * mh];

readImage(modelImageData, modelImage);

unsigned long t = mw * mh * 8; //根据匹配模板的大小设置一定的阀值

unsigned long m = t; //初始差异度

int ri = -1; //z左上角坐标(ri, rj)

int rj = -1;

int w = currentImage.width();

int h = currentImage.height();

if(NULL == currentImageData) //判断是否需要读取目标图像数据

{

currentImageData = new complex<double>[w * h];

readImage(currentImageData, currentImage);

}

//遍历目标图像，选取左上角坐标，考虑到模板图像的大小注意不要越界

int i, j;

for(i = 0; i < h - mh + 1; i++ )

{

for(j = 0; j < w - mw + 1; j++)

{

//下面开始对点(i, j)为左上角的mw * mh区域进行匹配

bool overFlag = false;

unsigned long k = 0; //差异值的累加和

int u, v;

for(u = 0; u < mh && !overFlag; u++)

{

for(v = 0; v < mw && !overFlag; v++)

{

k += abs(currentImageData[(i + u) * w + j + v].real()

- modelImageData[u * mw + v].real()); //计算差值并累加

if(k >= t) //判断是否大于阀值

{

overFlag = true;

}

}

}

if(k < m) //判断是否找到更加匹配的区域

{

ri = i;

rj = j;

m = k;

}

}

}

//找到匹配区域，则将目标图像匹配区域之外的点置成白色以便于观察结果

if(ri != -1)

{

for(i = 0; i < h; i++)

{

for(j = 0; j < w; j++)

{

if(i < ri || j < rj || i > ri + mh - 1 || j > rj + mw - 1)

{

currentImageData[i * w + j] = complex<double>(255, 0);

}

}

}

}

writeImage(currentImage, currentImageData);

pDispLabel->setPixmap(QPixmap(currentImage));

}

3.2. 运行截图

目标图像为图3-1，图3-2位匹配模板，匹配结果为图3-3。

图3-1 目标图像

图3-2 匹配模板

匹配结果