编程之美读书笔记2.15 - 子数组之和的最大值（二维）

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39083073

问题：

求二维数组（矩阵）的子矩阵之和的最大值。

亦可见：http://poj.org/problem?id=1050

解法1：（解释见注释）

每个子矩阵由列长、行长和左上角的元素位置决定。如果我们指定左上角的元素位置 (i,j) 和列长 c，那么可以求所有这些子矩阵中和最大的。然后，变化列长 c，可以求以 (i,j) 为左上角的最大和子矩阵。最所有左上角位置再求最大和子矩阵，问题就解决了。令 OPT(i,j,c) 表示以 (i,j) 为左上角，列长为 c 的最大和子矩阵之和，OPT(i,j) 表示以 (i,j) 为左上角的最优解，而 S(i,u,v) 表示第 i 行中从列 u 到列 v所有元素之和。则

OPT(i,j,c) = OPT(i+1,j,c) + S(i,j,j+c-1)

OPT(i,j) = max { OPT(i,j,c) : 1 <= c <= n }

其中，j+c-1 <= n。当 i >m 时， OPT(i,j,c) = 0。一共有 O(mn) 个 OPT(i,j) 子问题，而每个 OPT(i,j) 又可以有 n 个决策，因此，总的解规模有 O(mn² ) 个 OPT(i,j,c)。每个这样的子问题可以在 O(1) 时间内解决（想想怎么做到），因此，时间复杂度为 O(mn² )。

/*   直接枚举法O( N^2*M^2*O（sum()) )   Time Limit Exceeded */
static int submatrixSum(int **a, int row, int row_end, int col, int col_end){int sum = 0;for(int i = row; i <= row_end; i++)for(int j = col; j <= col_end; j++)sum += a[i][j];return sum;
}
static int maxSubmatrixSum1(int **a, int n){int max_sum = INT_MIN;int sum;int max_row, max_row_end, max_col, max_col_end;for(int row = 0; row < n; row++){for(int col = 0; col < n; col++){                        //子矩阵左上角位置for(int row_end = row; row_end < n; row_end++)for(int col_end = col; col_end < n; col_end++){         //4个属性确定一个子矩阵sum = submatrixSum(a, row, row_end, col, col_end);    //计算每个子矩阵的和if(sum > max_sum){max_sum = sum;/*max_row = row;max_row_end = row_end;max_col = col;max_col_end = col_end;*///printf("%d\n", max_sum);}}}}/*printf("\n            col\tcol_end\n            %d\t%d\n", max_col, max_col_end);    //输出子矩阵位置（4个属性）printf("row     %d\nrow_end %d\n", max_row, max_row_end);*/return max_sum;
}

解法2：

/*   DP算法 O(N^2*M)   */
static int maxSubmatrixSum2(int **a, int n){int ***row_sum = (int ***)malloc(sizeof(int **) * n);for(int i = 0; i < n; i++)assert( row_sum[i] = (int **)malloc(sizeof(int *) * n) );for(int i = 0; i < n; i++)for(int j = 0; j < n; j++)assert( row_sum[i][j] = (int *)malloc(sizeof(int) * n) );//计算row_sum[i][j][c]为第i行j列到c列的和for(int i = 0; i < n; i++)                               //初始化row_sum[i][j][c]为0for(int j = 0; j < n; j++)memset(row_sum[i][j], 0, sizeof(int) * n);               //!!!for(int i = n - 1; i >= 0; i--){for(int j = 0; j < n; j++){for(int c = j; c < n; c++)if(c == 0)row_sum[i][j][c] = a[i][c];elserow_sum[i][j][c] = row_sum[i][j][c - 1] + a[i][c];}}//将row_sum[i][j][c]转换成第i行j列到c列的和的最优解for(int i = n - 2; i >= 0; i--){                          //row_sum[n-1][j][c]不变for(int j = 0; j < n; j++)for(int c = j; c < n; c++){if(row_sum[i+1][j][c] > 0)row_sum[i][j][c] += row_sum[i+1][j][c];}}//求以[i, j]为左上角的矩形最优解int **optij = (int **)malloc(sizeof(int *) * n);for(int i = 0; i < n; i++)optij[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++)memset(optij[i], INT_MIN, sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++)for(int c = j; c < n; c++){if(row_sum[i][j][c] > optij[j][j])optij[j][j] = row_sum[i][j][c];}}//求整体最优解int max_sum = INT_MIN;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(optij[i][j] > max_sum)max_sum = optij[i][j];}}return max_sum;
}

解法3：

/*   最优算法    AC 63MS */
static int maxSubmatrixSum(int **a, int n){//初始化col_sum, col_sum[i][j][k]为第i和j行之间第k列元素的和int *** col_sum;assert( col_sum = (int ***)malloc(sizeof(int **) * n) );for(int i = 0; i < n; i++)assert( col_sum[i] = (int **)malloc(sizeof(int *) * n) );for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){assert( col_sum[i][j] = (int *)malloc(sizeof(int) * n) );memset(col_sum[i][j], 0, sizeof(int) * n);}}//计算第0和j(>=1)行之间第k列的和for(int k = 0; k < n; k++){   col_sum[0][0][k] = a[0][k];                    //初始化col_sum[0][0][k]为首行数据for(int j = 1; j < n; j++)col_sum[0][j][k] = col_sum[0][j - 1][k] + a[j][k];  //!!!}//计算第i和j行之间第k列的和for(int k = 0; k < n; k++){for(int i = 1; i < n; i++)for(int j = i; j < n; j++)col_sum[i][j][k] = col_sum[i - 1][j][k] - a[i - 1][k];}//计算最大子矩阵和int max_mat_sum = INT_MIN;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = i; j < n; j++){int row_sum = 0;                 //第i和j行之间最大行array和（压缩矩阵）for(int k = 0; k < n; k++){row_sum += col_sum[i][j][k];if(row_sum < 0)row_sum = 0;if(row_sum > max_mat_sum)max_mat_sum = row_sum;}}}return max_mat_sum;
}

测试：

int main(){assert( freopen("BOP\\maxSubmatrixSum.in", "r", stdin) );//int cases;                                 //测试案例数目//scanf("%d", &cases);//while(cases--){int n;                                 //每个案例中matrix维度scanf("%d", &n);int **a = (int **)malloc(sizeof(int*) * n);for(int i = 0; i < n; i++)a[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++)for(int j = 0; j < n; j++)scanf("%d", &a[i][j]);//printf("%d\n", maxSubmatrixSum1(a, n) );//printf("%d\n", maxSubmatrixSum2(a, n) );printf("%d\n", maxSubmatrixSum(a, n) );//}fclose(stdin);return 0;
}

测试案例：

2
1 1
1 1

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

3
3 -1 4
3 -1 4
3 -1 4

output:
4
15
18

from:

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39083073

ref:

Maximum Submatrix & Largest Rectangle

编程之美书p190

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