四阶行列式计算方法的一些教学探讨

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四阶行列式计算方法的一些教学探讨

作者：甘媛 来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018 年第 32 期

【摘 要】行列式的计算是线性代数中主要的基础知识之一，利用倍加性质造零是四阶行 列式的计算方法中最关键的步骤，也是难点。针对高职高专学生的特点，总结出学生容易理解 接受的新技巧———找 1 造 0，横写竖算(竖写横算)，有效地突破这一难点，提高教学效 果。

【关键词】四阶行列式；倍加造零；找 1 造 0；横写竖算；竖写横算

【中图分类号】G642 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089(2018)32-0014-02

一、引言

行列式计算的思想和方法其实是以行列式的性质为工具，把四阶行列式化为一些特殊的行 列式或是三阶行列式来求解。而数字行列式一般是降为三阶行列式来进行计算，因此计算方法 离不开倍加性质和拉普拉斯展开式。

二、分析探讨

我们先回忆一下倍加性质：把行列式的某一行(列)的元素乘以常数 k，再加到另一行 (列)的对应元素上，行列式的值不变。这条性质主要用于把元素化为零，因此又叫“倍加造 零”。但是这条性质中学生最难以理解的是如何造？为了突破这个教学难点，我们必须明确以 下几点：

(1)在性质中涉及到两行(列)元素，首先必须知道的是哪一行(列)上的元素发生变 化。

(2)“倍加”二字包括乘法和加法两种运算，也就意味着具体计算是先乘法后加法。

(3)常数 k 如何取，取什么数才能合乎题意，这是难点。

(4)最终目的是造零，零的个数越多，求解就越简便，但某一行(列)最多也就是三个 零。

对于四阶行列式的求解有两种办法，一种是利用拉普拉斯展开式，直接降阶为三阶行列 式，这种计算方法的缺点是计算量大，至少要计算两个或两个以上的三阶行列式。而通过倍加

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造零后再降阶，造零后的四阶行列式最终可以直接转化成一个三阶行列式来计算。目标：先把 四阶行列式的某一行(列)的三个元素变成零。为了使造零的过程简单些，再根据高职高专学 生的水平基础，我们一般先找到最多零所在的行或列，最后留住一个 1，造三个 0；找到某一 行就是横写，找到某一列就是竖写，写啥呢？写一个 1，三个 0，写完以后，记得明确横写， 那么造零的过程只能列与列之间的倍加变换；竖

2019-04-27

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高阶行列式的计算方法与技巧

2010 年

第 23 期

SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

○ 本刊重稿 ○

科技信息

高阶行列式的计算方法与技巧

黄基廷 赵丽棉 ( 河池学院数学系 广西 宜州

546300)

【 摘 要 】 行列式是数学中重要的计算工具之一 ， 而高阶行列式的计算 ， 其基本方法和技巧是 “ 化零 ” 和 “ 降阶 ”， 本文主要对一些院校历年典 型考研题的特征进行分析 ， 说明其求解方法与技巧 。 【 关键词 】 化零 ； 降阶 ；“ 三线 ” 型 ；“ 两三角形 ” 型 ； 递推 ； 拆项

The Method and Skill of Calculation of Higher Order Determinant HUANG Ji-ting ZHAO Li-mian (Department of Mathematics of Hechi University , Yizhou Guangxi, 546300 ) 【Abstract 】The determinant is one of the important calculating tools of mathematics, and the calculation of higher order, its basic method is “turn into zero ” and “reduced order ”. This article mainly analyses the characteristic of typical examination ’s questions of graduate entrance examination of some universities over the years to illustrate its solution ’s method and skill. 【Key words 】Turn into zero; Reduced order; “Three-way ” type; “Two-triangle ” type; Recursion;Take apart the term

行列式是数学中重要的计算工具之一 ， 而高阶行列式的计算 ， 其 基本方法和技巧是 “ 化零 ” 和 “ 降阶 ”， 即先利用行列式的性质

2011-03-12

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四阶行列式的计算

四阶行列式的计算； N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等)； 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算)； 求矩阵的秩、逆(两种方法)；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解)； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用 n^2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和； (2)展开式共有 n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算

一阶|α|=α 行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N 阶(n>=3)行列式的计算：降阶法 定理： 阶行列式的值等于它的任意一行 n (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行(列)，保保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展 开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； (2)行列式值为 0 的几种情况： Ⅰ 行列式某行(列)元素全为 0； Ⅱ Ⅲ Ⅳ 行列式某行(列)的对应元素相同； 行列式某行(列)的元素对应成比例； 奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵 1．矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等)；

2．矩阵的运算 (1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果； (2)关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律(若 AB＝BA，称 A、B 是可交换矩阵)； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若 A、B 为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 (1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； (2)秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数 (每行的第一个非零元 所在列，从此元

2012-10-10

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四阶行列式不能简单地利用对角线法则计算

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四阶行列式不能简单地利用对角线法则计算

作者：李代钦 来源：《科教导刊》2014 年第 36 期

摘 要 行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，由于计算方法的多变，使得这也成为 一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但对于四阶行列 式却不能简单地利用对角线法则来计算。 关键词 行列式的计算 对角线法则 四阶行列式 中图分类号：O151.22 文献标识码：A Fourth-order Determinant Can not Simply Use the Diagonal Rule Calculation LI Daiqin (Hu'nan Police Academy， Changsha， Hu'nan 410138) Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra， the calculation method of changeable， makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute， but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal. Key words determinant calculation； diagonal rule； four-order determinant 行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，其计算方法也是多变的，①有定义法，对角 线法，化三角形法，按行(列)展开法，递推法，加边法(升阶法)，拆行(列)法，数学归 纳法，析因法，辅助行列式法，利用拉普拉斯定理计算，利用范德蒙行列式法，利用矩阵行列 式公式计算，利用方阵特征值与行列式的关系计算等等。由于其计算方法的多样性，使得行列 式的计算成为一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但 对于四阶行列式却

2015-10-22

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行列式的计算方法

专题讲座五

1.递推法

例 1 求行列式的值：

行列式的计算方法

(1) 的构造是：主对角线元全为 ；主对角线上方第一条次对角线的元全为 ，下方

第一条次对角线的元全为 1，其余元全为 0；即 列式为 n 阶。

为三对角线型。又右下角的(n)表示行 。

解 把类似于 ，但为 k 阶的三对角线型行列式记为 把(1)的行列式按第一列展开，有两项，一项是

另一项是

上面的行列式再按第一行展开，得 列式

乘一个 n – 2 阶行列式，这个 n – 2 阶行列式和原行

的构造相同，于是有递推关系： (2)

移项，提取公因子 β： 类似地：

(递推计算) 直接计算

若

；否则，除以

后移项：

再一次用递推计算：

∴ 当 β = α，从

， 当 β≠α

(3)

从而

。

由(3)式，若

。

∴ 注 递推式(2)通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注 1 仿照例 1 的讨论，三对角线型的 n 阶行列式

(3) 和三对角线型行列式

(4) 有相同的递推关系式 (5) (6) 注意

两个序列 和

的起始值

相同，递推关系式(5)和(6)的构造也相同，故必有

由(4)式，

的每一行都能提出一个因子 a ，故 。前面算出 ，故

等于

乘一个 n 阶行列式，这一个行

列式就是例 1 的

例 2 计算 n 阶范德蒙行列式行列式

解:

即 n 阶范德蒙行列式等于

这 n 个数的所有可能的差

的乘积

2．拆元法

例 3：计算行列式

解

①×(x + a) ②×(x – a)

3．加边法

例 4 计算行列式

分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解

4．数学归结法

例 5 计算行列式

解：

猜测： 证明 (1)n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设 n≤k – 1 时命题成立,考察 n=k 的情形：

故命题对一切自然数 n 成立。

5.消去法求三对角线型行列式的值

例 6 求 n 阶三对角线型行列式的值：

(1) 的构造是：主对角线元全为 2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的 元全为 1，其余的元全为 0。 解 用消去法，把 第一行的 中主对角线下方第一条次对角线的元 1 全部消成 0：首先从第二行减去

倍，于是第二行变为

2012-06-22

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对角线法则计算四阶行列式的简便方法

维普资讯 http://www.cqvip.com

第 １卷 第 １ ７ 期　 ２ ０ Ｏ ５年 ２月　 宁德 师专 学报 ( 自然科 学 版 ) 　 Ｊｕｎｌ ｆ ｉｇｅＴ ａｈｒ Ｃ ｌｇ ( ａ ｒｌ ｃｅｃ ) ｏｒａ ｏ　 ｎ ｄ　 ｅｃｅ 　 ｏｅｅ Ｎ ｔ ａ　 ｉ ｅ　 　 Ｎ ｓ ｌ ｕ Ｓ ｎ

Ｖ０ ． ７ Ｎｏ． １ １　 １ 　 Ｆ ｂ． ｏ ５ ｅ ２ ｏ

对角线法则计算四阶行列式的简便方法

林 启 法

( 宁德 师 范高 等专 科学 校数 学 系 ， 建 宁德 福

摘要 ： 阐述 一 种 相对 简便 的 对角 线法 来 计算 四 阶行 列 式 ． 　 关 键词 ： 对角 线 ； 列式 ； 行 轮换

中图分 类 号 ： 　５ ．２ Ｏ １ １２　 文献 标识 码 ： 　 Ｂ 文 章编 号 ：０ ４—２ １ (０ ５ Ｏ —０ ４ １０ ９ １２０ )１ ０ ３—０　 ２

３２０ ) ５１ 　 ０

线性代 数在研究 变量之 间的线性关系上 有着 重 的应 用 ， 而行 列式是研 究线 性代 数 中的一个 重要 工　 具． 尤其 讨论和研究线性方 程组常要 用到行列式 的计算 ． 笔者在 教学 中探索 总结 用一种相对简单 和方便

的方 法 来 计 算 四阶 行 列 式 ． 　 １ 二 阶 三 阶行 列 式 的计 算 方 法

ｌ． ； ！ “， Ｊ 　 　 ．

二 行 式 ｆ１“ ＝ｌ２ ａａ ２ 即　 ，实 阶 列 是 对 线 素 积 阶 列 ：． ． ａａ一１２ 项 ２项其 二 行 式 两 角 元 乘 　 ｌ　　 ｌ２ ２１共 　 ｕ 　 　 １

之差 ， 即称这种计 算方法为对角线法 则 ．

ａ １１ 　 ａ １　 ２ ａ １　 ３

三 阶行 列 式 ： 口 ２１

ａ ３１

口 ２　 ２

ａ２　 ３

写成如下形式 ． 可采用对 角线法则来计算 ． 也

ａ ３２

ａ３　 ３

计算结果 与原来 的三阶行列式计算 结果完成 相同 ， 共包含 ６项 即 ３ 　 ． １项 由上式 可见 ， 体的做法 为 ： 具 在　 原三 阶行列式 的第 ３列后面补上该 三阶行列式 的第 １ 和第 ２ ； 列 列 计算 方法 为 ： 在上式 中带箭 头对角 线

上 ３个 元 素 乘 积 取 “ ，

2011-09-07

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四阶行列式的一种展开法1解读

四阶行列式的一种展开法正文 四阶行列式的一种展开法 笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只 适宜对四阶行列式展开而言。 四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计 算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体 方法如下： 四阶行列式： a11 D4 a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对 角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)： a11a12a21a31a41a42a13a43 a14 44 a11a12224142a13a23a33(图表一) 作乘积关系，可得如下八项： a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a 11,a43a34a21a12,a44a31a22a13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确 定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。 a11a12a21a31a41a42aa43 (图表二) a44a11a12224142a13a23a3343 同前理可得如下八项： a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a 11,a14a32a21a13,a42a31a23a14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确 定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。 第三次先将图表二中的第 2、3、4 列作一个轮换，即第 2 列变到第 4 列上去，第 3 列变到第 2 列上去，第 4 列变到第 3 列上去，这样可得到一个新的四列关系， 尔后参照第一次的作法，可得图表三： a21a313241a42a43a1444a11a12224142a13a23a33 1 四阶行列式的一种展开法正文

(图表三) 同前理可得如下八项： a11a24a32a43,a14a22a33a41,a12a23a31a44,a13a21a34a42,a41a34a22a13,a44a32a23a 11,a42a33a21a14,a43a31a24

2018-09-27

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行列式的计算方法

科技信息

○高校讲台○

ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ

２００７ 年 第 １６ 期

行列式的计算方法

肖艾平 (连云港师范高等专科学校初等教育系 江苏 连云港 ２２２００６)

摘要：总结了计算 ｎ 阶行列式的五种方法，针对特征，选取适当的方法，提高解题效率。 关键词：化三角；递推公式

Ｔｈｅ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｄｅｔｅｒ ｍｉｎａｔａｌ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ Ｘｉａｏ Ａｉｐｉｎｇ

(Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒ ’ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ， Ｊ ｉａｎｇｓｕ， ２２２００６) Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｃｏｎｃｌｕｄｅｓ ｆｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｂｙ ｃｈｏｏｓｉｎｇ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｋｅｙ Ｗｏｒ ｄｓ： ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ， ｒｅｃｕｒｒｉｎｇ ｒｅｌａｔｉｏｎ

在《高等代数》的学习中，行列式的计算是整个线性代数部分中的

１ｂ…ｂ

一个重点和难点。笔者在教学过程中对行列式的计算方法进行整理， 总结如下：

＝［ａ＋(ｎ－ １)ｂ］ ０ ａ－ ｂ … ０ ┇┇ ┇ ┇

计算行列式的方法很多，但具体到一个行列式，要针对其特征，选

０ ０ … ａ－ ｂ

取适当的方法，才能提高解题的效率。

＝(ａ－ ｂ)ｎ－１［ａ＋(ｎ－ １)ｂ］

对于低阶行列式的计算，一般根据其特点，利用行列式的性质，将

此类行列式的每一行的元素之和相等，，可将第 ２，３，……，ｎ 列的

其逐步化为上(或下)三角形行列式，或者根据行列式按一行(或一列) 元素依次加至第一列，再将公因式提取出来，然后设法化为三角形。

展开公式进行降阶处理。

而对于一般的 ｎ 阶行列式，当行列式中出现了许多零，这时可利 用定义计算外，除此常用的方法有以下几种：

１．直接利用行列式的性质计算

例 １ 证明：奇数阶反对称行列式为零。

证明：∵Ｄｎ＝(－ １)ｎＤｎＴ＝(－ １)ｎＤｎ＝－ Ｄｎ

∴Ｄ＝０

例 ２ 计算 ｎ 阶行列式

ａ１

2011-09-24

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行列式计算典型例题

典型例题-------行列式的计算

计算方法：化上(下)三角形法，降阶法。 例 1：计算：

解： 法 1：(化上三角形法)

法 2：(降阶法)

可直接用对角线法则计算三阶行列式，或：

例 2：计算：

解：

计算简单些：

例 3：计算：

解：(化上三角形法)

例 4：证明：

证：

法 2：(按列拆开)

例 5：计算：

解：

例 6：计算：

解：

例 7：计算：

解：

例 8：计算：

解：按第一行展开，有：

递推公式：

例 9：

解：法 1

法 2：

例 10：证明范德蒙(Vandermonde)行列式：

证明：用数学归纳法 (1)n=2 易证结论成立 (2)假设对 n-1 阶范氏行列式结论成立.证明对 n 阶亦成立。

例 11 已知三次曲线： 处的值为 解：

在四个点 试求其系数 。

例 12：求四个平面 解：平面方程可写成： 为未知量， 为系数的其次线性方程组) 。

相交于一点的充分必要条件。 ，其中：t=1(看成以 x,y,z,t

有唯一的一组非零解 根据齐次线性方程组有非零解的必要充分条件是系数行列式等于零， 即得四平面相交于一点 的充分必要条件为：

例 13：问

取何值时,齐次线性方程组

有非零解？ 解：有非零解的必要条件：D=0

由：D=0，得：

。

2015-04-09

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