算术基本定理“质数分解唯一性的证明”：古典方法与现代方法

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。

每一个比1大的自然数N只能有一种方式分解成质数的乘积。

推论：若一个质数p是乘积ab的因子，则p不是a的因子就是b的因子。

大于1的自然数必可写成质数之积

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n 大于1。其次，n 不是质数，因为质\数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设，其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都都可以写成质数的乘积。从而也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得《几何原本》和维基百科上的方法都是先证明推论，再证明定理的方法。维基百科的方法可参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86

欧几里得《几何原本》的介绍可参考：http://dulang.blog.sohu.com/717224.html

欧几里得《几何原本》的证明方法

先证明推论：对应于《几何原本》第7卷第30命题，设（7-30）

命题描述：以现在的数学语言，若质数p|ab，则不p|a就p|b

设c=ab；p为质数，若p量尽a，得证；若p量不尽a（即p不是a的因子），证明p量尽b即得证。

根据（7-29），因为p为质数，且p量不尽a，所以p、a互质。

用反证法证明如下：设p、a不互质，将有公因子m，因为m是a的因子，p不是a的因子，所以m不等于p，而m是p的因子，这是不可能的。

根据（7-定义15），c/p=t，得到c=pt，又c=ab，根据（7-19）得到p/a=b/t

根据（7-21），因为p、a互质，p、a是具有相同比的数对中最小的一对。

再根据（7-20），大小两数a、p分别量尽具有同比的大小两数t、b，所得的次数相同，即前项量尽前项、后项量尽后项，所以p量尽b，即得证。

最后一条定理（7-20）证明的难度较大，特证明如下：

命题：设a、b是与a/b有相同比的数对中最小的一对数，如果a/b=c/d，则a=(1/n)*c；b=(1/n)*d。

证明：因为a<c，所以a=(1/n)*c或者a=(m/n)*c,[1<m<n]

根据（7-13和定义20)，若a=(m/n)*c,那么也有b=(m/n)*d

这样a、b均有(1/m)的部分

根据（7-12），(1/m)*a : (1/m)*b = a : b

但是(1/m)*a 、 (1/m)*b 分别小于 a 、b，这与假设矛盾，所以仅有a=(1/n)*c

根据（7-13和定义20)，有a=(1/n)*c，b=(1/n)*d，故得证。

证明算术基本定理“质数分解唯一性”

命题：几何原本描述，“如果一个数是被一些质数能量尽的最小者，那么，除原来量尽它的质数外，任何另外的质数量不尽这个数。”

换句话说：一个数仅一种方法被分解为质因数之积。

设a是被质数b c d ... k的每一个整除的最小数，如果可能，假设a有一个不同与b c d ... k的质因数p,设a=p*m。根据（7-30），因为b c d ... k整除a，那么它们必然整除两因子p、m之一。而由假设，他们不整除p,所以他们必然整除小于a的数m，这与假设矛盾（假设a是最小的），因而a除b c d ... k外再无其他质因子。

现代证明方法，直接证明质数分解唯一性。

证明：反证法，设存在一个能分解为两种根本不同的质数乘积的正整数，则其中必有一最小的（最小数原理），设m=p1p2...pr=q1q2...qs，从小到大排序。p1不等于q1，否则可消去，不满足最小假设。设p1<q1。构造一整数m'=m-(p1q2...qs)=(p1p2...pr)-(p1q2...qs)=p1(p2...pr-q2...qs)

=(q1q2...qs)-(p1q2...qs)=(q1-p1)q2...qs

由于p1<q1,m'是一个正整数，且<m。因此m'的质数分解，除了因子次序外，必须是唯一的（m是最小数假设）。从上面表达式可看出，p1是m'的因子，再根据m'质数分解的唯一性得出（推论、用反证法很容易得到），p1必须是(q1-p1)或者q2...qs的因子，由于q都比p1大，这后一情形是不可能的，这样就有某个整数h，使q1-p1=p1*h或q1=p1(h+1)。这表明p1是q1的一个因子，与q1是质数相矛盾。故得证。

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