写在前面：

　　数论被誉为数学皇后，是研究整数性质的理论(好多人对数论的范围不清楚额)

　　而算术基本定理是数论中的重要定理

　　这篇文章是我对于算术基本定理的一些研究，研究的资料源自博客，百科，问答，持续更新

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——图片来自youtube上的Fluffle Puff系列动画

结论

　　即算术基本定理的内容由两部分构成：

分解的存在性
分解的唯一性

——http://tieba.biadu.com/p/1680603442

　　算数基本定理在密码学中发挥着重要作用

　　可以说算术基本定理提供了一个观察数与数之间关系的角度

证明

　　（某一种证法）

　　假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n
　　根据自然数的可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1

　　∵n 大于1，且根据假设，n 不是质数

　　∴n是合数

　　∵每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积，设n == a*b，其中a 和b 都是介于1和n 之间（而不包括）的自然数

　　∴按照n 的定义，a 和b 都可以写成质数的乘积

　　∴n == a*b 也可以写成质数的乘积

　　∴假设失败

　　∴大于1的自然数必可写成质数的乘积

——http://tieba.biadu.com/p/1680603442

　　　（证明方法还有好多好多）

应用

 一  单项式

• 证明√2是无理数

　　（某一种证法）

　　思路：

　　　　利用算术基本定理证明√2不能写成两数之比即可

　　假设√2 == a/b　　(a,b∈Z*,且GCD(a,b) == 1)

　　∵(a/b)² == (√2)²

　　∴a² == 2b²

　　∴(1/2)a*a == b²

　　∵a∈Z*

　　∴b² | (1/2)a　　……①式

　　∵a,b∈Z*，且GCD(a,b) == 1，且a² == 2b²

　　∴a>b>1

　　∴根据算术基本定理有

　　　　a == P₁^x1P₂^x2P₃^x3......P_m^xm

　　　　b == P₁^y1P₂^y2P₃^y3......P_n^yn　　（P₁,P₂,P₃...为连续的质数,x₁,x₂,x₃...x_m,y₁,y₂,y₃...y_n为非负整数,m,n为正整数）

　　∴带入①式　　P₁^2y1P₂^2y2P₃^2y3......P_n^2yn | (1/2)(P₁^x1P₂^x2P₃^x3......P_m^xm)

　　∴2P₁^2y1P₂^2y2P₃^2y3......P_n^2yn | (P₁^x1P₂^x2P₃^x3......P_m^xm)  b有素数因子P⁰满足P⁰|a

　　∴P⁰|a且P⁰|b，与GCD(a,b) == 1相矛盾

　　∴假设失败，不存在√2 == a/b

　　∴√2是无理数

——https://zhidao.biadu.com/question/1797542160185315587.html

• 证明素数有无限个

　　思路：

　　　　假设素数最大的为p_n，利用算术基本定理证明还有比p_n更大的素数

　　假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p_n

　　设q为所有素数之积加上1，即q == ( 2 * 3 * 5 * …… * p_n )+1

　　根据假设，q不是素数

　　根据算术基本定理，q可以被2、3、……、p中的数整除才对

　　但是q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1

　　则q是素数，与假设矛盾

　　假设失败，素数有无限个

——https://wenda.so.com/q/1509592418215606?src=9999&cid-pre=1000204

• 欧拉函数

　　[◹]欧拉定理

φ(n) = n(1-1/p₁)(1-1/p₂)……(1-1/p_n)

• 计算正整数N的正因数的个数

　　根据算术基本定理N = P₁^a1P₂^a2P₃^a3......P_n^an(P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数aⁱ是正整数)

　　记f(N)为正整数N的正因数的个数

　　思路：

　　　　根据计数原理，将相同的质因数看作一类，每一类中有aⁱ+1种情况(0也视为一种情况)，不同的质因数之间的关系就是类与类的关系，则得到

f(N) == (a¹+1)(a²+1)(a³+1)...(aⁿ+1)

——https://blog.csdn.net/elbadaernu/article/details/75670038

• 计算正整数N的所有正因数的和

　　根据算术基本定理N = P₁^a1P₂^a2P₃^a3......P_n^an(P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数aⁱ是正整数)

　　记f(N)为正整数N的正因数的和

　　思路：

　　　　根据乘法结合律易得到

f(N) == (P₁⁰+P₁¹+P₁²+……+P₁^a1)(P₂⁰+P₂¹+P₂²+……+P₂^a2)……(P_n⁰+P_n¹+P_n²+……+P_n^an)

——https://blog.csdn.net/elbadaernu/article/details/75670038

　　另外，

　　　　当f(N) == 2N 时，称N为完全数

　　　　当f(N) < 2N 时，称N为盈数

　　　　当f(N) > 2N 时，称N为亏数

•  判断n^m是否可以被s整除

　　给定正整数n，m，有好多好多个s(最多100000个)，试判断n^m是否可以被s整除

　　(0 < n <= 10⁹0 <= m <= 300000　　0 < s <= 10¹⁸)

　　思路：

　　　　问题的关键是n^m好大好大的，可以选择利用算术基本定理分解n^m来实现（s有好多好多个，显然不能分解s）

　　　　既然是n^m，不妨把每个P_iⁿⁱ的指数ni乘上m，得到好多P_i^ni*m

　　　　∵据同余定理，有

　　　　∴如果n^m是否可以被s整除，那么必然在进行以下操作过程中，会出现temp==0 的时候

C++：

1 //int tot为n的质因数种类数
2 //int p[]为n的质因数
3 //int index[]为n的质因数分别对应的指数
4 int temp=1;
5 for(re int i=1;i<=tot;++i){
6     temp*=pow(p[i],index[i]*m);
7     temp%=s;
8 } 

　　　　若出现了temp == 0，则n^m是否可以被s整除

　　　　若执行完了也没有出现temp == 0，则反之

•  n!质因数分解

　　给出正整数n，请编程输出n!的标准分解式，形如  4! == 2^3*3^1

　　(n <= 10^6)

　　思路：

　　　　因为是阶乘，所以小于等于n的质数一定是其质因数，大于n的质数一定不是

　　　　所以其标准分解式所含质数P_i已确定

　　　　而对于质数P_i，在n!的分解式中的指数a_i == n/P_i¹+n/P_i²+……+n/P_i^x  (n>=P_i^x)

　　　　两部分拼到一起就好了

　　　　n好小，这种方法可以的

• 判断n!是否可以被s整除

　　给定多对n，s(n，s都<=2³¹)，判断n!是否可以被s整除

　　(Time limit: 3.000 seconds)

　　思路：

　　　　综合 n!质因数分解 和 n^m是否可以被s整除 的思路

　　　　质数P_i，在n!的分解式中的指数a_i == n/P_i¹+n/P_i²+……+n/P_i^x  (n>=P_i^x)

　　　　执行 n^m是否可以被s整除 中的操作即可

——https://blog.csdn.net/xieshimao/article/details/6342322

二  从单项式到多项式

• GCD(a,b)*LCM(a,b) == a*b

　　举个例子：

　　根据算术基本定理

76 == 2²*19¹

57 == 3¹*19¹

GCD(76,57)　　==　　19　　==　　19¹

LCM(76,57)　　==　　228　　==　　2²*3¹*19¹

MUL(76,57)　　==　　4332　　==　　2²*3¹*19²

　　即

　　①GCD(a,b)　　选择每个质因子最小的指数作为结果中该质因子的指数

　　②LCM(a,b)　　选择每个质因子最大的指数作为结果中该质因子的指数

　　③MUL(a,b)　　选择每个质因子的指数的和作为结果中该质因子的指数

　　而由于最小的指数和最大的指数可能相等，但不是同一个，两者之和就是每个质因子指数的和，即

GCD(a,b)*LCM(a,b) == a*b

　　另外还有

　　76 MOD 57 == 19 == 19¹

　　④a MOD b　　a每个质因子的指数减去b中每个质因子的指数作为结果中该质因子的指数(但规定如果有一个质因子为负就取消本次所有减法，结果就是a本身)

　　虽然这四种运算都还是在单项式的范围内，但这是从单项式走向多项式的关键所在

ps:无意间想到的，错了别打我

• [◹]更相减损术

• [◹]欧几里得算法

• [◹]拓展欧几里得算法

• [◹]拓展欧几里得算法的多解

实现

　　对于算术基本定理的实现即大整数的因数分解

　　大整数分解目前仍是世界级难题，其有很多种算法，性能上各有差异

　　下面是实现大整数分解的部分方法：

• [◹]试除法分解大整数

• [◹]整数分解费马方法

• [◹]Pollard Rho算法