其实“不动点”是一个非常有意思的概念，现在高考题一般不会涉及，但是我现在写的东西比较随心所欲~

这篇文章和竞赛书上的内容相比，介绍的东西相对比较简单。

一、不动点的概念与性质

对于函数

，若存在实数

，使得

，则称

是函数

的(一阶)不动点。

同样地，若

，则称

是函数

的二阶不动点。容易发现，对于一阶不动点

，有

，因此一阶不动点必然是二阶不动点。

在几何上，曲线

与曲线

的交点的横坐标即为函数

的不动点。

一般地，数列

的递推式可以由公式

给出，因此可以定义递推数列的不动点：对于递推数列

，若其递推式为

，且存在实数

，使得

，则称

是数列

的不动点。

数列的不动点有什么性质呢？若从某一项

开始，数列的取值即为

，也即

，则

，

，以此类推，根据数学归纳法，可以得到当

时，

，也即数列

在

之后“不动”了。

有时候，数列

中的值可能无法取到

，但是会“接近”

，也即收敛于

。所谓“收敛”是指当

充分大时，数列

趋向于某个值

，也即

，代入递推式即可得到

。

值得注意的是，不动点也可能不存在(或者说为复数)。文章的最后将会给出一个非常有意思的例子。

二、一阶线性递推数列

所谓“一阶线性递推数列”非常常见，是指下面的这种数列：若数列

满足

，其中

，

是给定的实数，求数列

的通项公式。

一般来说，当

时，原数列即为公差为

的等差数列，故

。

当

时，我们可以通过待定系数法构造一个公比为

的等比数列：假设存在实数

，使得

，展开得到

，解得

。

因此数列

是等比数列，累乘得

，移项后即可得到通项公式为

，其中

。

事实上，上面得到的

非常特殊：可以发现

满足方程

，也即

是数列

的不动点。这便可以给我们启发：形如

的递推数列，在处理的时候可以分以下两种情况：

(1)

，可以求出它的不动点

，之后

为等比数列；

(2)

，此时不动点不存在，

是等差数列。

并且由上面的例子得到启发，在数列的递推式两边减去不动点，可以得到较为特殊的结构。

接下来来看一个比较简单的例子：

例1 设数列

满足

，

，求数列

的通项公式。

解 令

，解得不动点

，因此变形得到

。

也即

是等比数列，且

，累乘得

，因此

。

由此看来，不动点法虽然可以说是“花里胡哨”的方法，但是在解决问题时比待定系数法直接得多。

三、分式递推数列

接下来我们来看分式递推数列，这也是不动点法主要应用的范围。所谓分式递推数列是指以下类型：若数列

满足

，其中

，

，

，

是给定的实数，求数列

的通项公式。

这时候要求它的不动点，考虑方程

，得到了一个二次方程！情况就比上面的题目复杂得多了。我们从几个例子出发：

例2 设数列

满足

，

，求数列

的通项公式。

考虑方程

，故

是数列

的不动点，根据上面的思路，尝试在递推式两边同时减去

，得到

。

注意到左右两边分别出现了

和

这样相似的结构，并且都是在分母，我们可以尝试构造新数列

，当然也可以直接变形：

也即

，因此数列

是首项为

，公差为

的等差数列，累加得

，因此

。

例3 设数列

满足

，

，求数列

的通项公式。

同样地，考虑方程

，这时候数列

有两个不动点

和

，分别在递推式两边减去

和

后，可以得到：

，

。

两式相除得

，因此数列

是首项为

，公比为

的等比数列，累乘得

，因此

。

做一个小小的总结：形如

的递推数列，处理时也可以分两种情况：

(1)若其有一个不动点

，则

是等差数列；

(2)若其有两个不动点

，

，则

是等比数列。

当然，分式递推数列不只有上面那种简单的情况，可以看下面这个例子：

例4 设数列

满足

，

，求数列

的通项公式。

事实上，

，这不同于上面的类型，但是否可以用同样的方法处理呢？

同样尝试求它的不动点：

，因此

和

是数列

的两个不动点，变形得到：

，

。

两式相除得

，又

，迭代得到

，由此解得数列的通项公式

。

由此看来，对于比较复杂的分式型递推数列，也可以通过减去不动点来进行代数变形，从而使等式的两边出现类似的结构，更易于处理。

四、没有不动点的情况？

其实我觉得吧，这里才是这篇文章比较精彩的地方。这就是我在开头讲的，比较有意思的不动点不存在的情况。

例5 设数列

满足

，

，求数列

的通项公式。

考虑方程

，这时候数列的不动点不存在！

但将不动点扩展到复数域内，可以得到

与

是数列

的两个不动点，接下来根据复数的四则运算，我们看看能得到上面结果：

，

。

两式相除得

，又

，迭代得

，由此解得

，并且根据上面的递推公式可以知道，数列的通项公式虽然由复数给出，但是每一项都是实数。

当然，这道题目还有一种比较漂亮的做法：注意到

，根据

变形即可得到

。

因此作换元

，整理得到

，因此

是等比数列，又根据

得到

，故

，因此

。

通过这个例子也可以看出“三角复数不分家”。

经 @寒蝉凄切 提醒，当不动点是复数的时候，数列必定是周期数列，例如上面的这个例子。

说到这个，才想起一个新的例子：

例6 设数列

满足

，

，求数列

的通项公式。

其中

，因此数列以

为周期。

考虑方程

，此时数列也没有不动点(或者说不动点为复数)。