不动点求数列通项原理_不动点法和数列通项公式
写这篇文章的原因是一直耿耿于怀的这个题目：
因为是浙江题，当时官方给出的答案是利用不动点法判断，不动点法或者特征根法求通项公式并不是全国卷考生的复习内容，当时只是觉得这部分内容有点过于花里胡哨没有太大的实际意义，正好近期有学生问到这方面的内容了，也粗略的研究了一些，发现这部分内容的价值远远大于考试内容的价值，今天做一个算是抛砖引玉的内容，后续有新的体会也会继续丰富这个知识点。
不动点是数学术语解释是被这个函数映射到自身的一个点，即对于函数f(x),若存在实数x0，使得f(x0)=x0，则称x=x0是函数的不动点，用几何解释就是函数y=f(x)与y=x交点的横坐标，若不动点与数列结合，我们都知道可用不动点法求解数列的通项公式，但是原理是什么，先看以下三道常规的数列题目：
注意通过待定系数法求得的A值，若用不动点法，令x=2x+1，解的x=-1,将数列an的通项公式看作函数，图像如下：
这里面有两点需要注意，第一是不动点和用待定系数求得的A是什么关系，因为不动点是-1，所以在原来的等式两侧都减去不动点-1，即an+1-(-1)=2an+1-(-1)，即可得到等比数列的形式，也就是说不动点可以这样用吗？可以推广到其他形式的递推公式里面吗？第二不动点-1恰好是把数列当作函数的极限值，这好像也能解释为什么叫不动点了，当x变化时y值不再变化，另外若函数是一个常函数，数列是一个常数列，也满足要求，如果在数列{an}中，a1的值恰好等于不动点x0，有如下递推形式，
再看一道题目：
这道题目恰好验证了上面的两点，那么其他题目能不能求出不动点，然后等式两侧都减去不动点，若不动点有两个怎么办？
可看出做法和上面一样，只不过用了两次而已，同样把数列当作函数，看看1和2是不是函数的极限值：
如果两个不动点相同呢？如下题：
从以上题目能推广出不动点法求解通项公式的一般思路了，如果是前中后三项的递推公式用特征根方程即可，即便是待定系数也很简单，不再给出。
最后再复盘一下一开始的浙江高考题目：
令x=x+b，即x-x+b=0,△=1-4b，△≥0，则b≤1/4，满足要求的只有B,C,D选项了，以B为例，x-x+1/4=0，解得x0=1/2，因为a1=a可任意取值，则取a1=x0=1/2，可知an中的任何一项都为1/2,同理C,D都可以根据不动点排除掉，剩余的选项就是A了
总结：不动点法求通项公式有局限性，也有其独特的优势，全国卷的考生多了解一些没坏处。
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