概率统计Python计算：F分布分位点计算

设XXX，YYY相互独立，且分别服从χ2(m)\chi^2(m)χ2(m)和χ2(n)\chi^2(n)χ2(n)，则XY\frac{X}{Y}YX~F(m−1,n−1)F(m-1, n-1)F(m−1,n−1)，即XY\frac{X}{Y}YX服从自由度为mmm和nnn的FFF分布。服从F(m−1,n−1)F(m-1, n-1)F(m−1,n−1)分布的随机变量XXX的概率密度函数为
ψ(x)={Γ(m+n2)(mn)m2xm2−1Γ(m2)Γ(n2)(1+mnx)m+n2x≥00x<0{\psi(x)=}\begin{cases} {}\frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)(1+\frac{m}{n}x)^{\frac{m+n}{2}}}&x\geq0\\ 0&x<0 \end{cases}ψ(x)=⎩⎨⎧Γ(2m)Γ(2n)(1+nmx)2m+nΓ(2m+n)(nm)2mx2m−10x≥0x<0
下图展示了FFF分布的自由度(m,n)(m,n)(m,n)的几个不同组合的密度函数图像。

对应给定的显著水平α\alphaα，单侧右分位点Fα(m,n)F_{\alpha}(m,n)Fα(m,n)满足P(X≥Fα(m,n))=αP(X\geq F_{\alpha}(m,n))=\alphaP(X≥Fα(m,n))=α，如下图所示。

单侧左分位点记为F1−α(m,n)F_{1-\alpha}(m,n)F1−α(m,n)，满足P(X≥F1−α(m,n))=1−αP(X\geq F_{1-\alpha}(m,n))=1-\alphaP(X≥F1−α(m,n))=1−α，如下图所示。

而双侧左右分位点F1−α/2(m,n)F_{1-\alpha/2}(m,n)F1−α/2(m,n)和Fα/2(m,n)F_{\alpha/2}(m,n)Fα/2(m,n)满足P(F1−α/2(m,n)(<X<Fα/2(m,n))≥1−αP(F_{1-\alpha/2}(m,n)(<X<F_{\alpha/2}(m,n))\geq1-\alphaP(F1−α/2(m,n)(<X<Fα/2(m,n))≥1−α，如下图所示

Python的scipy.stats包中，连续型分布类 rv_continuous的f对象表示FFF分布，常用函数的调用接口见下表。

函数名	参数	意义
ppf	q：表示显著水平α\alphaα，dfn，dfd：表示分布的自由度mmm和nnn	单侧左分位点F1−α(m,n)F_{1-\alpha}(m,n)F1−α(m,n)
isf	q，dfn, dfd：与上同	单侧右分位点Fα(m,n)F_{\alpha}(m,n)Fα(m,n)
interval	alpha：表示置信水平1−α1-\alpha1−α，dfn, dfd：与上同	双侧分位点F1−α/2(m,n)F_{1-\alpha/2}(m,n)F1−α/2(m,n)和Fα/2(m,n)F_{\alpha/2}(m, n)Fα/2(m,n)

例1 设检验水平α=0.05\alpha=0.05α=0.05，计算自由度m=12m=12m=12，n=9n=9n=9的FFF分布的单侧分位点和双侧分位点。
解：下列代码完成本例计算。

from scipy.stats import f                           #导入f
m=12                                                #设置自由度m
n=9                                                 #设置自由度n
alpha=0.05                                          #设置alpha
a=f.ppf(q=alpha, dfn=m, dfd=n)                      #单侧左分位点
b=f.isf(q=alpha, dfn=m, dfd=n)                      #单侧右分位点
print('单侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))
a, b=f.interval(1-alpha, dfn=m, dfd=n)              #双侧分位点
print('双侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))

运行程序，输出

单侧左、右分位点：a=0.3576, b=3.0729
双侧左、右分位点：a=0.2910, b=3.8682

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