概率统计Python计算：卡方分布分位点计算

nnn个相互独立，均服从N(0,1)N(0,1)N(0,1)的随机变量X1,X2⋯,XnX_1, X_2\cdots,X_nX1,X2⋯,Xn的平方和X12+X22+⋯+Xn2X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2X12+X22+⋯+Xn2服从自由度为nnn的χ2\chi^2χ2分布，其密度函数为
f(x)={12n/2Γ(n/2)xn2−1e−x2x≥00x<0.{f(x)=} \begin{cases} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}&x\geq0\\ 0&x<0 \end{cases}.f(x)={2n/2Γ(n/2)1x2n−1e−2x0x≥0x<0.
下图展示了自由度nnn分别为2，4，6的f(x)f(x)f(x)的图像。

历史上均以残存函数S(x)=1−F(x)S(x)=1-F(x)S(x)=1−F(x)的反函数S−1(α)S^{-1}(\alpha)S−1(α)来表示单侧左分位点χα2(n)\chi^2_{\alpha}(n)χα2(n)的，即对显著水平α\alphaα
P(X≥χα2(n))=α.P(X\geq\chi^2_{\alpha}(n))=\alpha.P(X≥χα2(n))=α.
如下图所示：

将单侧右分位点表为χ1−α2(n)\chi^2_{1-\alpha}(n)χ1−α2(n)，即1−P(X<χ1−α2(n))=α1-P(X<\chi^2_{1-\alpha}(n))=\alpha1−P(X<χ1−α2(n))=α，如下图所示。而1−P(X>χ1−α2(n))=P(X≤χ1−α2(n))=F(χ1−α2(n))1-P(X>\chi^2_{1-\alpha}(n))=P(X\leq\chi^2_{1-\alpha}(n))=F(\chi^2_{1-\alpha}(n))1−P(X>χ1−α2(n))=P(X≤χ1−α2(n))=F(χ1−α2(n))。

而双侧左右分位点表为满足P(χ1−α/22(n)≤X≤χα/22(n))=1−αP(\chi^2_{1-\alpha/2}(n)\leq X\leq\chi^2_{\alpha/2}(n))=1-\alphaP(χ1−α/22(n)≤X≤χα/22(n))=1−α的χ1−α/22(n)\chi^2_{1-\alpha/2}(n)χ1−α/22(n)和χα/22(n)\chi^2_{\alpha/2}(n)χα/22(n)，如下图所示。

Python的scipy.stats包中，连续型分布类 rv_continuous的chi2对象表示χ2\chi^2χ2分布。χ2\chi^2χ2分布常用的计算分位点函数的调用接口见下表。

函数名	参数	意义
ppf	q：表示显著水平α\alphaα，df：表示分布的自由度nnn	左分位点χ1−α2(n)\chi_{1-\alpha}^2(n)χ1−α2(n)
isf	q，df：与上同	右分位点χα2(n)\chi_{\alpha}^2(n)χα2(n)
interval	alpha：表示置信水平1−α1-\alpha1−α，df：与上同	双侧分位点χ1−α/22(n)\chi_{1-\alpha/2}^2(n)χ1−α/22(n)和χα/22(n)\chi_{\alpha/2}^2(n)χα/22(n)

例1 对显著水平α=0.05\alpha=0.05α=0.05，计算自由度n=24n=24n=24的χ2(n)\chi^2(n)χ2(n)分布的分位点。
解：下列代码完成本例计算。

from scipy.stats import chi2        #导入chi2
n=24                                #设置自由度n
alpha=0.05                          #设置alpha
a=chi2.ppf(q=alpha, df=n)           #计算单侧左分位点
b=chi2.isf(q=alpha, df=n)           #计算单侧右分位点
print('单侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))
a, b=chi2.interval(1-alpha, df=n)   #计算双侧左分位点
print('双侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))

运行程序，输出

单侧左、右分位点：a=13.8484, b=36.4150
双侧左、右分位点：a=12.4012, b=39.3641

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