概率统计Python计算：学生分布分位点计算

设XXX~N(0,1)N(0,1)N(0,1)，YYY~χ2(n)\chi^2(n)χ2(n)，且XXX与YYY相互独立，则XY/n\frac{X}{\sqrt{Y/n}}Y/nX~t(n)t(n)t(n)。即XY/n\frac{X}{\sqrt{Y/n}}Y/nX服从自由度为nnn的学生分布，其密度函数为
h(x)=Γ(n+12)nπΓ(n2)(1+x2n)−n+12h(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}h(x)=nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)−2n+1
下图展示了自由度nnn为2和100时的密度函数h(x)h(x)h(x)的图像。

这是一个偶函数，所以其图形关于纵轴对称。
对给定的显著水平α\alphaα，用tα(n)t_{\alpha}(n)tα(n)表示单侧右分位点，即
P(X>tα(n))<α.P(X>t_{\alpha}(n))<\alpha.P(X>tα(n))<α.
如下图所示

根据密度函数图像关于纵轴的对称性，对应α\alphaα的单侧左分位点为−tα(n)-t_{\alpha}(n)−tα(n)，即P(X≤−tα(n))<αP(X\leq-t_{\alpha}(n))<\alphaP(X≤−tα(n))<α，如下图所示。

对置信水平1−α1-\alpha1−α，双侧左、右分为点为−tα/2(n)-t_{\alpha/2}(n)−tα/2(n)和tα/2(n)t_{\alpha/2}(n)tα/2(n)，即P(−tα/2(n)<X<tα/2(n))≥1−αP(-t_{\alpha/2}(n)<X<t_{\alpha/2}(n))\geq1-\alphaP(−tα/2(n)<X<tα/2(n))≥1−α，如下图所示。

Python的scipy.stats包中，连续型分布类 rv_continuous的t对象表示ttt分布。常用函数调用接口见下表。

函数名	参数	意义
ppf	q：表示显著水平α\alphaα，df：表示分布的自由度nnn	单侧左分位点t1−α(n)t_{1-\alpha}(n)t1−α(n)
isf	q，df：与上同	单侧右分位点tα(n)t_{\alpha}(n)tα(n)
interval	alpha：表示置信水平1−α1-\alpha1−α，df：与上同	双侧分位点t1−α/2(n)t_{1-\alpha/2}(n)t1−α/2(n)和tα/2(n)t_{\alpha/2}(n)tα/2(n)

例1 设显著水平α=0.05\alpha=0.05α=0.05，计算自由度n=24n=24n=24的ttt分布的单侧分位点和双侧分位点。
解：下列代码完成本例的计算。

from scipy.stats import t           #导入t
n=24                                #设置自由度n
alpha=0.05                          #设置alpha
b=t.isf(q=alpha, df=n)              #计算单侧右分位点
a=-b                                #单侧左分位点
print('单侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))
a, b=t.interval(1-alpha, df=n)      #双侧右分位点
a=-b                                #双侧左分位点
print('双侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))

运行程序，输出

单侧左、右分位点：a=-1.7109, b=1.7109
双侧左、右分位点：a=-2.0639, b=2.0639

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