参考资料：同济大学高等数学第七版上册、B站轩兔up视频。

一、概念

1、连续
函数f(x)f(x)f(x)定义在区间III上，对于区间III上的任意一点x0x_0x0，对任意给定的正数ϵ\epsilonϵ，总存在正数δ\deltaδ，使得区间III中的点xxx，当∣x−x0∣＜δ|x-x_0|＜\delta∣x−x0∣＜δ时，有：∣f(x)−f(x0)∣＜ϵ|f(x)-f(x_0)|＜\epsilon∣f(x)−f(x0)∣＜ϵ。

2、一致连续
函数f(x)f(x)f(x)定义在区间III上，对任意给定的正数ϵ\epsilonϵ，总存在正数δ\deltaδ，使得对于区间III上的任意两点x1,x2x_1,x_2x1,x2，当∣x1−x2∣＜δ|x_1-x_2|＜\delta∣x1−x2∣＜δ时，有：∣f(x1)−f(x2)∣＜ϵ|f(x_1)-f(x_2)|＜\epsilon∣f(x1)−f(x2)∣＜ϵ。

通俗解释：
函数在区间内一致连续，则对任意给定的一个正数ϵ\epsilonϵ，总存在一个距离δ\deltaδ，对于区间内的任意两个数x1,x2x_1,x_2x1,x2，只要它们足够近∣x1−x2∣＜δ|x_1-x_2|＜\delta∣x1−x2∣＜δ，则其对应的函数值也足够近∣f(x1)−f(x2)∣＜ϵ|f(x_1)-f(x_2)|＜\epsilon∣f(x1)−f(x2)∣＜ϵ。

二、连续与一致连续

1、

一致连续性表示，不论在区间III中的任何部分，只要两个自变量的数值接近到一定程度，就能使它们对应的函数值达到所指定的接近程度。

2、一些例子：

f(x)=xf(x)=xf(x)=x：令δ=ϵ\delta=\epsilonδ=ϵ时，f(x)f(x)f(x)在定义域上连续且一致连续。
f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x：令δ=ϵ2\delta=\epsilon^2δ=ϵ2时，f(x)f(x)f(x)在定义域上连续且一致连续。
f(x)=1/xf(x)=1/xf(x)=1/x：f(x)f(x)f(x)在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)内连续但不一致连续；f(x)f(x)f(x)在[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)（其中，a>0其中，a>0其中，a>0）内连续且一致连续。

3、连续和一致连续的几何意义：

连续：图像可一笔画画完。
一致连续：图像可一笔画画完，且图像的变化速度不能太快/图像不能太陡峭。
f(x)连续⇒f(x)一致连续可导函数f(x)：导数有界⇒一致连续f(x)连续\Rightarrow f(x)一致连续\\ 可导函数f(x)：导数有界\Rightarrow一致连续 f(x)连续⇒f(x)一致连续可导函数f(x)：导数有界⇒一致连续

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