带权图上的三个问题--最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题

带权图上的三个问题

1.最短路问题
设带权图G(V, E, W)，且每一条边的权都是非负实数。对任意u，v∈V，当u和v连通（u可达v）时，称从u到v长度最短的路径为u到v的最短路径，该路径的长度称作距离d(u, v)。约定d(u, u) = 0，当u不可达v时d(u, v) = ∞。

Dijkstra算法
输入：带权图G(V, E, W)和s∈V，其中|V| = n，对任意e∈E，W(e)≥0。
输出：s到G中每一个点的最短路径及距离。
记每一个顶点的标号L(v) = (L1(v), L2(v))。标号分为永久标号和临时标号。对永久标号，L1(v)和L2(v)分别是：s到v的最短路径上v的前一个顶点；s到v的距离。对临时标号，L1(v)和L2(v)分别是：当前从s经过已永久标号的点到达v的最短路上v的前一个顶点；这条路径的长度。
【1】L(s) = (s, 0)，L(v) = (s, +∞)，v∈V – {s}，i = 1。L(s)是永久标号，其余均为临时标号，u = s。
【2】对u邻接的临时标号的顶点v：
如果L2(u) + W(u, v) < L2(v)，那么令L(v) = (u, L2(u) + W(u, v))。
【3】计算L2(t) = min{L2(v) | v∈V且有临时标号}，把L(t)改为永久标号。
【4】如果i < n，那么令u = t，i = i + 1，返回到【2】继续。
计算完毕后，对每一个顶点u，都有d(s, u) = L2(u)。利用L1(v)从u开始回溯，查找从s到u的最短路径。

2.中国邮递员问题
邮递员从邮局出发，走遍负责街区投递邮件，最后回到邮局。问：如何走才能使他走的路最短？对应的图论模型是：给定一个带权无向图，所有边权均非负，求每一条边至少经过一次的最短回路。该问题由管梅谷于1962年首度提出，故称中国邮递员问题。

如果存在欧拉回路，那么任意一条欧拉回路都是正解，经过每一条欧拉回路走过的距离都是一样的，均为所有边的边权之和。
如果不存在欧拉回路，那么由于每一条边都会贡献两个度，图的总度数一定是偶数，所以奇度顶点的个数只能是偶数。那么，把奇度顶点每两个分一对，枚举全部组合，求出重复部分的最短距离，即令每一对奇度顶点中一个点到另一个点的最短距离之和最小，再加上原有的全部边的边权和即为答案。

3.货郎担问题（旅行商问题）
有n个城市，给定城市之间的道路长（为正无穷大时代表两个城市之间不连通）。一个旅行商从某城出发，要求仅经过每个城市一次，最后回到出发城市。问：如何走才能使他走的路线最短？
对应的图论模型是：设n阶完全带权图G(V, E, W)，求G的一条最短的哈密顿回路。
该问题属于NP问题中的一个，目前没有找到有效的时间复杂度可以接受的算法求解。虽然可以采用动态规划求解，但其时间复杂度仍然是指数级的。

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