拉格朗日方程的三种推导方法之基于达朗贝尔原理推导

拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。即：
δW=∑i(Fi+Ii)⋅δri=0(1)\delta W=\sum\limits_{i}{\left( {{\mathbf{F}}_{i}}+{{\mathbf{I}}_{i}} \right)}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=0\tag{1}δW=i∑(Fi+Ii)⋅δri=0(1)
其中Ii{{\mathbf{I}}_{i}}Ii为惯性力，Ii=−miai{{\mathbf{I}}_{i}}=-{{m}_{i}}{{\mathbf{a}}_{i}}Ii=−miai。Fi{{\mathbf{F}}_{i}}Fi为粒子所受外力，δri\delta {{\mathbf{r}}_{i}}δri为符合系统约束的虚位移。
设粒子 Pi{{P}_{i}}Pi的位置 ri{{\mathbf{r}}_{i}}ri为广义坐标q1,q2,⋯,qn{{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}}q1,q2,⋯,qn与时间ttt的函数：
ri=Pi(q1,q2,⋯,qn,t)(2){{\mathbf{r}}_{i}}={{P}_{i}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},t \right)\tag{2}ri=Pi(q1,q2,⋯,qn,t)(2)
则虚位移可以表示为：
δri=∑j∂ri∂qjδqj(3)\delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{j}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}}\tag{3}δri=j∑∂qj∂riδqj(3)
粒子的速度vi=vi(q1,q2,⋯,qn,q˙1,q˙2,⋯,q˙n,t){{\mathbf{v}}_{i}}={{\mathbf{v}}_{i}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},{{{\dot{q}}}_{1}},{{{\dot{q}}}_{2}},\cdots ,{{{\dot{q}}}_{n}},t \right)vi=vi(q1,q2,⋯,qn,q˙1,q˙2,⋯,q˙n,t) 可表示为：
vi=dridt=∂ri∂t+∑j∂ri∂qjq˙j(4){{\mathbf{v}}_{i}}=\frac{d{{\mathbf{r}}_{i}}}{dt}=\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial t}+\sum\limits_{j}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot{q}}_{j}}\tag{4}vi=dtdri=∂t∂ri+j∑∂qj∂riq˙j(4)
取速度对于广义速度的偏微分：
∂vi∂q˙j=∂ri∂qj(5)\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}=\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{5}∂q˙j∂vi=∂qj∂ri(5)
首先转化方程(1)的加速度项。将方程(3)代入：
∑imiai⋅δri=∑i,jmiai⋅∂ri∂qjδqj(6)\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\tag{6}i∑miai⋅δri=i,j∑miai⋅∂qj∂riδqj(6)
应用乘积法则：
∑i,jmiai⋅∂ri∂qjδqj=∑i,j(ddt(mivi⋅∂ri∂qj)−mivi⋅ddt(∂ri∂qj))δqj(7)\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{i,j}{\left( \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)-{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right) \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{7}i,j∑miai⋅∂qj∂riδqj=i,j∑(dtd(mivi⋅∂qj∂ri)−mivi⋅dtd(∂qj∂ri))δqj(7)
注意到∂ri∂qj\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}∂qj∂ri 的参数为 q1,q2,⋯,qn,t{{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},tq1,q2,⋯,qn,t，而速度 vi{{\mathbf{v}}_{i}}vi 的参数为q1,q2,⋯,qn,q˙1,q˙2,⋯,q˙n,t{{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},{{\dot{q}}_{1}},{{\dot{q}}_{2}},\cdots ,{{\dot{q}}_{n}},tq1,q2,⋯,qn,q˙1,q˙2,⋯,q˙n,t ，所以，
ddt(∂ri∂qj)=(∂∂t+∑kq˙k∂∂qk)(∂ri∂qj)=∂2ri∂qj∂t+∑k∂2ri∂qj∂qkq˙k(8)\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\left( \frac{\partial }{\partial t}+\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}} \right)\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}{{\dot{q}}_{k}}\tag{8}dtd(∂qj∂ri)=(∂t∂+k∑q˙k∂qk∂)(∂qj∂ri)=∂qj∂t∂2ri+k∑∂qj∂qk∂2riq˙k(8)
∂vi∂qj=∂∂qj(∂ri∂t+∑k∂ri∂qkq˙k)=∂2ri∂qj∂t+∑k∂2ri∂qj∂qkq˙k(9)\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}{{\dot{q}}_{k}}\tag{9}∂qj∂vi=∂qj∂(∂t∂ri+k∑∂qk∂riq˙k)=∂qj∂t∂2ri+k∑∂qj∂qk∂2riq˙k(9)
因此，以下关系式成立：
ddt(∂ri∂qj)=∂vi∂qj(10)\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{10}dtd(∂qj∂ri)=∂qj∂vi(10)
将方程(5)与(10)代入，加速度项成为:
∑i,jmiai⋅∂ri∂qjδqj=∑i,j(ddt(mivi⋅∂vi∂q˙j)−mivi⋅∂vi∂qj)δqj(11)\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{i,j}{\left( \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{11}i,j∑miai⋅∂qj∂riδqj=i,j∑(dtd(mivi⋅∂q˙j∂vi)−mivi⋅∂qj∂vi)δqj(11)
代入动能表达式：
T=∑i12mivi⋅vi(12)T=\sum\limits_{i}{\frac{1}{2}}{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot {{\mathbf{v}}_{i}}\tag{12}T=i∑21mivi⋅vi(12)
则加速度项与动能的关系为:
∑i,jmiai⋅∂ri∂qjδqj=∑j(ddt(∂T∂q˙j)−∂T∂qj)δqj(13)\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{\left( \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}} \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{13}i,j∑miai⋅∂qj∂riδqj=j∑(dtd(∂q˙j∂T)−∂qj∂T)δqj(13)
然后转换方程(1)的外力项代入方程(3)得：
∑iFi⋅δri=∑i,jFi⋅∂ri∂qjδqj=∑jFjδqj(14)\sum\limits_{i}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{i,j}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{{\mathcal{F}}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\tag{14}i∑Fi⋅δri=i,j∑Fi⋅∂qj∂riδqj=j∑Fjδqj(14)
其中F\mathcal{F}F是广义力：
Fj=∑iFi⋅∂ri∂qj(15){{\mathcal{F}}_{j}}=\sum\limits_{i}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{15}Fj=i∑Fi⋅∂qj∂ri(15)
将方程(13)与(14)代入方程(1)可得：
∑j(ddt(∂T∂q˙j)−∂T∂qj−Fj)δqj=0(16)\sum\limits_{j}{\left( \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}}-{{\mathcal{F}}_{j}} \right)}\delta {{q}_{j}}=0\tag{16}j∑(dtd(∂q˙j∂T)−∂qj∂T−Fj)δqj=0(16)
假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(16)成立：
ddt(∂T∂q˙j)−∂T∂qj−Fj=0(17)\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}}-{{\mathcal{F}}_{j}}=0\tag{17}dtd(∂q˙j∂T)−∂qj∂T−Fj=0(17)
这系统的广义力与广义位势 VVV之间的关系式为:
Fj=ddt(∂V∂q˙j)−∂V∂qj(18){{\mathcal{F}}_{j}}=\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial V}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}\tag{18}Fj=dtd(∂q˙j∂V)−∂qj∂V(18)
代入得：
ddt(∂(T−V)∂q˙j)−∂(T−V)∂qj=0(19)\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial (T-V)}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial (T-V)}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{19}dtd(∂q˙j∂(T−V))−∂qj∂(T−V)=0(19)
定义拉格朗日量 LLL为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：
ddt(∂L∂q˙j)−∂L∂qj=0(20)\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{20}dtd(∂q˙j∂L)−∂qj∂L=0(20)

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