离散数学_构造推理的证明

1、在自然推理系统F中，构造下面推理的证明

不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。

个体域为实数集合。

令F(x):xF(x):xF(x):x是无理数 G(x):xG(x):xG(x):x是有理数 H(x):xH(x):xH(x):x能表示成分数

命题符号化：

不存在能表示成分数的无理数：¬∃x(H(x)∧F(x))\lnot \exist x (H(x) \wedge F(x))¬∃x(H(x)∧F(x))

有理数都能表示成分数：∀x(G(x)→H(x))\forall x(G(x)\rightarrow H(x))∀x(G(x)→H(x))

有理数都不是无理数：∀x(G(x)→¬F(x))\forall x(G(x) \rightarrow \lnot F(x))∀x(G(x)→¬F(x))

证明：

（1）¬∃x(H(x)∧F(x))\lnot \exist x (H(x) \wedge F(x))¬∃x(H(x)∧F(x))

（2）∀x(¬H(x)∨¬F(x))\forall x (\lnot H(x) \vee \lnot F(x))∀x(¬H(x)∨¬F(x)) 量词转换、摩根律

（3）¬H(a)∨¬F(a)\lnot H(a) \vee \lnot F(a)¬H(a)∨¬F(a) 去掉全称量词

（4）H(a)→¬F(a)H(a) \rightarrow \lnot F(a)H(a)→¬F(a)

（5）∀x(G(x)→H(x))\forall x(G(x)\rightarrow H(x))∀x(G(x)→H(x))

（6）G(a)→H(a))G(a)\rightarrow H(a))G(a)→H(a)) 去掉全称量词

（7）G(a)→¬F(a)G(a) \rightarrow \lnot F(a)G(a)→¬F(a) (4)与(6)

（8）∀x(G(x)→¬F(x))\forall x(G(x) \rightarrow \lnot F(x))∀x(G(x)→¬F(x)) 添加全称量词

2、在自然推理系统中，构造下面推理的证明

任何自然数都是整数；存在着自然数。所以存在着整数。

令：F(x):xF(x):xF(x):x是自然数 G(x):xG(x):xG(x):x是整数

前提：∀x(F(x)→G(x))\forall x(F(x)\rightarrow G(x))∀x(F(x)→G(x))，∃x(F(x))\exists x (F(x))∃x(F(x))

结论：∃xG(x)\exist x G(x)∃xG(x)

证明：

(1) ∃x(F(x))\exists x (F(x))∃x(F(x)) 前提引入

(2) F(a)F(a)F(a) 去存在量词

(3) ∀x(F(x)→G(x))\forall x(F(x)\rightarrow G(x))∀x(F(x)→G(x)) 前提引入

(4) F(a)→G(a)F(a)\rightarrow G(a)F(a)→G(a) 去全称量词

(5) G(a)G(a)G(a) (2)(4)假言推理

(6) ∃xG(x)\exist x G(x)∃xG(x) 添加全称量词

3、如果你给我发了一封电子邮件，那么我将完成程序的编写。如果你没有给我发电子邮件，那么我会早点睡觉。如果我早点入睡，然后我会醒来感觉神清气爽。结论:如果我没有完成程序的编写，那么我会觉得神清气爽

令：

p:p:p:你给我发了一封电子邮件

q:q:q:我将完成程序的编写

r:r:r:我会早点睡觉

s:s:s:我会神清气爽

前提：

p→qp \rightarrow qp→q

¬p→r\lnot p \rightarrow r¬p→r

r→sr \rightarrow sr→s

结论：

¬q→s\lnot q \rightarrow s¬q→s

证明：

1、¬p→r\lnot p \rightarrow r¬p→r	前提引入
2、p∨rp \vee rp∨r	1的蕴涵等值式
3、p→qp \rightarrow qp→q	前提引入
4、r→sr \rightarrow sr→s	前提引入
5、q∨sq \vee sq∨s	3、4、5的构造性二难
6、¬q→s\lnot q \rightarrow s¬q→s	5的蕴涵等值式