离散数学 - 谓词逻辑的推理

谓词逻辑的推理

在前面学习了命题逻辑的推理,但是用其却无法证明苏格拉底论证的有效性,这是由于原子命题包含的信息量太少,无法将苏格拉底论证的条件和结论准确的表示出来,因此,我们引入了谓词与量词.借助它们,我们能更精确的将自然语言转化为数学语言,而下一步,就是与命题逻辑的推理相对应的谓词逻辑的推理.

主要内容:

推理规则
例题示范

推理规则:

全称量词的消去规则(US):
全称量词的基本属性是"任意",也就是说,如果个体域的所有个体都具有性质A，则个体域中的任一个个体都具有性质A。
公式: ∀ x A ( x ) ⇒ A ( y ) \forall xA(x)\Rightarrow A(y) ∀xA(x)⇒A(y)或者 ∀ x A ( x ) ⇒ A ( c ) \forall xA(x)\Rightarrow A(c) ∀xA(x)⇒A(c)
换成常元还是变元主要取决于要证明结论的形式
规则成立的条件:
1. 取代x的y应为任意不在A(x)中约束出现的个体变元;
2. 用y取代A(x)中自由出现的x时，必须将所有的x都取代;
3. 自由变元y也可替换为个体域中任意的个体常元c, c为任意不在A(x)中出现过的个体常元。
  第1和3说白了就是别和其他的符号重复
存在量词的消去规则(ES):
存在量词的属性是"存在",即, 如果个体域存在有性质A的个体，则个体域中必有某一个个体具有性质A。
公式: ∃ x A ( x ) ⇒ A ( c ) \exists xA(x)\Rightarrow A(c) ∃xA(x)⇒A(c)
规则成立的条件:
1. c是个体域中使A为真的特定的个体常元；(特定的)
2. c不曾在A(x)或前面的推导公式中出现过；(别重复)
3. A(x)中除了自由出现的x外,还有其他自由出现的个体变项是，不能用此规则. (在具体题目中很少见)
  前两个显而易见,对于第3个考虑 ∃ y F ( x , y ) \exists yF(x, y) ∃yF(x,y),并不能得出 F ( x , c ) F(x, c) F(x,c),F(x, c)表示的是对于指定的c, 任意的x都满足F.错误在于:c的具体指定可能与x的取值有关,比如F表示大小关系.
全称量词的引入规则:
如果个体域的任意个体都具有性质A，则个体域中的所有个体都具有性质A。(显而易见)
公式: A ( y ) ⇒ ∀ x A ( x ) A(y)\Rightarrow \forall xA(x) A(y)⇒∀xA(x)
规则成立的条件：
1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真；
2. x不在A(y)中约束出现。(符号别重复就行)
存在量词的引入规则:
如果个体域有某一个个体c具有性质A，则个体域中必存在具有性质A的个体.即,能找出一个就表示存在.
公式: A ( c ) ⇒ ∃ x A ( x ) A(c)\Rightarrow\exists xA(x) A(c)⇒∃xA(x)
规则成立的条件:
1. c是个体域中某个确定的个体;
2. 代替c的x不在A©中出现过.(还是符号别重复)

例题示范:

例: 用谓词逻辑构造并证明下述推理的有效性:
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车；每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车；有的人不喜欢骑自行车；因而有的人不喜欢步行。
解:
取人为全总个体域:设P(x)表示x喜欢步行;Q(x)表示x喜欢坐汽车;R(x)表示x喜欢骑自行车.
即证,
∀ x ( P ( x ) → ¬ Q ( x ) ) , ∀ x ( Q ( x ) ∨ R ( x ) ) , ∃ x ¬ R ( x ) ⇒ ∃ x ¬ P ( x ) \forall x(P(x)\rightarrow\neg Q(x)), \forall x(Q(x) \vee R(x)), \exists x\neg R(x)\Rightarrow\exists x\neg P(x) ∀x(P(x)→¬Q(x)),∀x(Q(x)∨R(x)),∃x¬R(x)⇒∃x¬P(x)
① ∃ x ¬ R ( x ) \exists x\neg R(x) ∃x¬R(x) P
② ¬ R ( c ) \neg R(c) ¬R(c) T①ES
③ ∀ x ( Q ( x ) ∨ P ( x ) ) \forall x(Q(x)\vee P(x)) ∀x(Q(x)∨P(x)) P
④ ( Q ( c ) ∨ P ( c ) ) (Q(c)\vee P(c)) (Q(c)∨P(c)) T③US
⑤ Q ( c ) Q(c) Q(c) T②④I
⑥ ∀ x ( P ( x ) → ¬ Q ( x ) ) \forall x(P(x)\rightarrow\neg Q(x)) ∀x(P(x)→¬Q(x)) P
⑦ P ( c ) → ¬ Q ( c ) P(c)\rightarrow\neg Q(c) P(c)→¬Q(c) T⑥US
⑧ Q ( c ) → ¬ P ( c ) Q(c)\rightarrow\neg P(c) Q(c)→¬P(c) R⑦E
⑨ ¬ P ( c ) \neg P(c) ¬P(c) T⑤⑧I
⑩ ∃ x ¬ P ( x ) \exists x\neg P(x) ∃x¬P(x) T⑨EG