机器人雅可比矩阵的求法_构造法

2024-05-22 04:13:45

机器人雅可比矩阵的求法_构造法

雅可比矩阵对于机器人运动学逆解、静力学分析和动力学分析有重要意义，是机器人位置\力控制的基础。这篇文章主要讲如何用构造法求解雅可比矩阵。
上一篇文章中讲到，D-H矩阵中的坐标系建立有两种方法，本文就针对对这两种坐标系建立方法分别求出雅可比矩阵。

一、（后置法）雅可比矩阵求法

很多教材中的雅可比构造法都是针对后置法（第二种方法）建立的坐标系而言的，第二种坐标系的雅可比矩阵求法简单介绍如下：线速度和角速度对时间的导数可以表示为：

P˙e=∑i=1n∂Pe∂qi=∑i=1nJpiq˙i

\dot P_e=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial P_e}{\partial q_i}=\sum^{n}_{i=1} J_{p_i}\dot q_i

ωe=∑i=1nJOiq˙i

\omega_e=\sum^{n}_{i=1} J_{O_i}\dot q_i
这种情况下的雅可比矩阵用构造法可以表示为：

J=⎡⎣⎢⎢JPi⋮JOi⋯⋱⋯JPn⋮JOn⎤⎦⎥⎥

J=\begin{bmatrix} J_{P_i}&\cdots&J_{P_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ J_{O_i}&\cdots&J_{O_n}\\ \end{bmatrix}
其中：

具体的推导过程不再赘述。下面来比较两种坐标系下牙科臂矩阵的关系。通过以上公式可以看到，雅可比矩阵只和各关节坐标系的ZZ 轴和坐标系原点的坐标有关。通过比较两种坐标系的 ZZ 轴和坐标系原点的关系，可以得出第一种坐标系下的雅可比矩阵的求法。

二、（前置法）雅可比矩阵求法

通过上图中的比较可以看到，左图中的ZiZ_i 和右图中的 Zi−1Z_{i-1} 重合，而左图中的 PiP_{i} 与右图中的 Pi−1P_{i-1} 重合，他们都可以用相同的方法求得雅可比矩阵的公式。因此，只要对右图对应的雅可比矩阵做相应的变换，就可以得到左图坐标系下的雅可比矩阵。
变换的方法是：（1）、把 Zi−1Z_{i-1} 换成 ZiZ_i ；（2）、把 Pi−1P_{i-1} 换成 PiP_{i} 。得到的雅可比矩阵是：

三、参考文献。

1) John J Craig, 机器人学导论（第三版），机械工业出版社，2006.6.
2) Saeed B.Niku 等，机器人学导论——分析、系统及应用，电子工业出版社，2004.1.
3) Bruno Siciliano 等，机器人学建模、规划与控制，西安交通大学出版社，2013.11.

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