笛卡尔树(知识总结+板子整理)

2024-04-25 11:23:43

思路来源

https://blog.csdn.net/qq_36056315/article/details/79845193(清晰易懂)

https://www.cnblogs.com/reverymoon/p/9525764.html(板子+例题)

知识总结

笛卡尔树是形如上图的一棵树，满足

①堆的性质，如本图，小根堆，两子的值大于等于父亲的值

②二叉搜索树性质，即左子树的点key(默认为下标)比根小，右子树的点key(默认为下标)比根大

显然，按中序遍历这棵树，可得原序列

③询问下标i到下标j之间(i<j)的最小值，只需寻找[i,j]的lca

笛卡尔树的构造

如果有key作第一关键字要求，要求先按照key的增序排列；否则，把key默认认为是下标

用单调栈实时维护当前树中的最右链，

即根，根的右子树，根的右子树的右子树

每次插入一个值v3的时候，在单调栈中，

不断清除大于等于v3的值，从而找到第一个小于v3的值为v1，

由于v1原右子树v2>=v3(不然第一个小于v3的值，就不是v1了)，且比v3更早插入，

所以v2应该作新插入的v3的左子树，而把v3为v1的右子树

然后把v3加入栈中，保证最右链的单增性(这里维护的是小根堆)

注意没有v2的情形，即v1是叶子

注意没有v1的情形，即v3是新根

单调栈，每个元素最多进栈一次，出栈一次，O(n)完成构造

笛卡尔树，似乎会在序列单增的时候，被卡成一条链

据说，Treap也是这样的一棵树，但Treap的v是随机出来的，使树更平衡

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,v[N],fa[N],ls[N],rs[N];
int s[N],top;
void Tree()
{for(int i = 1; i <= n; i ++){scanf("%d",&v[i]);while(top && v[s[top]] > v[i])ls[i] = s[top], top --;fa[i] = s[top]; fa[ls[i]] = i; if(fa[i]) rs[fa[i]] = i;s[++ top] = i;}
}

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