洛谷 - P4755 Beautiful Pair(笛卡尔树+主席树)

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题目大意：给出一个长度为 n 的数列 a，现在一个数对 ( i , j ) 如果满足 a[ i ] * a[ j ] <=max( a[ i ] ~ a[ j ] )，则称其为美丽的，求出美丽对的数量

题目分析：直接统计是比较困难的，但正难则反，我们可以枚举每个数作为最大值时，在其管辖的区间内进行统计，对于某个最大值 i 来说，肯定存在着 l[ i ] 和 r[ i ] ，使得 l[ i ] - 1 是 i 左侧首个大于 a[ i ] 的位置，r[ i ] + 1 是 i 右侧首个大于 a[ i ] 的位置，这样在区间 [ l[ i ] , r[ i ] ] 中，跨过位置 i 时的最大值一定是 a[ i ] ，于是区间就被分成了两段：[ l[ i ] , i ] , [ i , r[ i ] ]，因为乘积运算满足交换律，所以遍历长度较小的一段，在另一段中查找符合条件的元素的个数即可，假设当前枚举的数字为 a[ j ] ，最大值为 a[ i ] ，所以需要在区间内查找 [ 1 , a[ i ] / a[ j ] ] 的元素个数，这显然是线段树的功能，不过如果放在区间上询问的话，就需要可持久化一下来使用，也就是主席树了，对于上述找 l[ i ] 和 r[ i ] 的过程，可以用笛卡尔树来完成，然后 dfs 一遍统计答案就好了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e5+100;int a[N];LL ans;
/*主席树*/
struct Node1
{int l,r;int sum;
}tree[N*35];int cnt,root[N];void update(int num,int &k,int l,int r)
{tree[cnt++]=tree[k];k=cnt-1;tree[k].sum++;if(l==r)return;int mid=l+r>>1;if(num<=mid)update(num,tree[k].l,l,mid);elseupdate(num,tree[k].r,mid+1,r);
}int query(int i,int j,int L,int R,int l,int r)//i：左端点根节点编号，j：右端点根节点编号，l,r:目标区间，L,R:当前区间
{if(l>r)return 0;if(R<l||L>r)return 0;if(L>=l&&R<=r)return tree[j].sum-tree[i].sum;int mid=L+R>>1;return query(tree[i].l,tree[j].l,L,mid,l,r)+query(tree[i].r,tree[j].r,mid+1,R,l,r);
}
/*主席树*/
/*笛卡尔树*/
struct Node2
{int l,r,val;
}t[N];stack<int>s;void insert(int x)
{while(s.size()&&t[s.top()].val<t[x].val)s.pop();t[x].l=t[s.top()].r;//x->lsont[s.top()].r=x;//fa->x(rson)s.push(x);
}
/*笛卡尔树*/
void dfs(int k,int l,int r)
{if(k==0)//特判一下根 {if(t[k].l)dfs(t[k].l,l,r);if(t[k].r)dfs(t[k].r,l,r);return;}if(k-l<=r-k)//遍历左区间 for(int i=l;i<=k;i++)ans+=query(root[k-1],root[r],1,inf,1,t[k].val/t[i].val);else//遍历右区间 for(int i=k;i<=r;i++)ans+=query(root[l-1],root[k],1,inf,1,t[k].val/t[i].val);if(t[k].l)dfs(t[k].l,l,k-1);if(t[k].r)dfs(t[k].r,k+1,r);
}void init()
{t[0].val=inf;t[0].l=t[0].r=0;s.push(0);root[0]=0;tree[0].l=tree[0].r=tree[0].sum=0;cnt=1;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&t[i].val);insert(i);root[i]=root[i-1];update(t[i].val,root[i],1,inf);}dfs(0,1,n);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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