【组合数学】指数型母函数（多重集排列问题）

文章目录

1.指数型母函数的定义
2.多重集排列问题
3.指数型母函数求解多重集排列问题
4.模板
5.泰勒展开式的应用
6.练手题目

1.指数型母函数的定义

对于一个序列a0,a1,a2⋅⋅⋅⋅ana^0,a^1,a^2\cdot\cdot\cdot\cdot a^na0,a1,a2⋅⋅⋅⋅an，我们称a00!+a11!⋅x1+a22!⋅x2+a33!⋅x3+⋅⋅⋅+ann!⋅xn\frac{a_0}{0!}+\frac{a_1}{1!}\cdot x^1+\frac{a_2}{2!}\cdot x^2 +\frac{a_3}{3!}\cdot x^3+\cdot\cdot\cdot+\frac{a_n}{n!}\cdot x^n0!a0+1!a1⋅x1+2!a2⋅x2+3!a3⋅x3+⋅⋅⋅+n!an⋅xn为该序列的指数型母函数

指数型母函数算是普通型母函数的延伸，不太懂母函数的可以先看这个，普通型母函数

2.多重集排列问题

有n种物体，给出每种物体的数量，现从中选出m个进行排列，问你排列方案有多少种。

3.指数型母函数求解多重集排列问题

证明过程点这里
过程很详细。

如何构造指数型母函数：

以三种物体，分别有2，2，3个为例，

则可构造如下母函数：

(1+x11!+x22!)⋅(1+x11!+x22!)⋅(1+x11!+x22!+x33!)(1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!})\cdot(1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!})\cdot(1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!})(1+1!x1+2!x2)⋅(1+1!x1+2!x2)⋅(1+1!x1+2!x2+3!x3)

解释：

一个括号内的内容为一个多项式，第一个多项式代表第一种物品的选取情况，每一项的指数代表选取个数，如x2x^2x2代表第一种物品选两次，那么第一个多项式就涵盖了第一种物品的所有选取情况（0，1，2）。

第二个多项式同理，第三个多项式多了一项，因为第三种物体有3个，多一种选择的情况。

与普通型母函数对比：

①每一个多项式的指数都是连续的（因为指数代表的意义不同了，普通型母函数用指数代表权值，这里用指数代表选取个数）
②分母多了个阶乘，原因可见上面的链接，内有证明过程

求解：

构造完之后，和普通型母函数一样暴力展开就能得到答案了

继续上面的例子，将展开式展开即得：

1+3x+92x2+2563+3112x4+1312x5+724x6+124x71+3x+\frac{9}{2}x^2+\frac{25}{6}^3+\frac{31}{12}x^4+\frac{13}{12}x^5+\frac{7}{24}x^6+\frac{1}{24}x^71+3x+29x2+6253+1231x4+1213x5+247x6+241x7

如果我们要求从上述物品中选取r个进行排列，只要找到指数为r的项，再将其系数乘以r的阶乘，原因可见上面证明过程的链接

对于指数型母函数来说，它的每一项的系数都是ann!\frac{a_n}{n!}n!an，而其中真正有用的是ana_nan，这与用普通型母函数解决多重集组合问题单纯取系数不同。

4.模板

代码都有注释，需要注意的是结尾的输出要用%.0f，用%.0lf会输出0或-0我也不知道，用(int)强制转换也是不行的，因为会截断，而答案需要四舍五入（应该是精度问题造成的，不然答案本来就应该是整数）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
using namespace std;int  fact[15];void fact_calculate(){//阶乘计算fact[0]=fact[1]=1;for(int i=2;i<=10;i++)fact[i]=i*fact[i-1];
}int main()
{int n,m;double c[15],temp[15]; //c数组存放系数int num[15];      //存放第i种物品有几个fact_calculate();while(~scanf("%d%d",&n,&m)){memset(c,0,sizeof(c));for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]);for(int i=0;i<=num[1];i++)   //c数组初始化第一个多项式的系数c[i]=1.0/fact[i];for(int i=2;i<=n;i++){    //i表示运算到第几个多项式memset(temp,0,sizeof(temp));for(int j=0;j<=m;j++)     //循环到m项就可以，因为求的是m排列，后面的项计算了也没有意义for(int k=0;k<=num[i]&&k+j<=m;k++)temp[k+j]+=(1.0*c[j]/fact[k]);for(int j=0;j<=m;j++)c[j]=temp[j];}printf("%.0f\n",c[m]*fact[m]);}return 0;}

5.泰勒展开式的应用

exe^xex的泰勒展开：

ex=1+x+x22!+x33!+⋅⋅⋅e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdotex=1+x+2!x2+3!x3+⋅⋅⋅

可见其与我们构造的指数型母函数是恰好契合的

扩展：

e−x=1−x+x22!−x33!+⋅⋅⋅e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdote−x=1−x+2!x2−3!x3+⋅⋅⋅

则:

ex+e−x2=1+x22!+x44!+⋅⋅⋅\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdot\cdot\cdot2ex+e−x=1+2!x2+4!x4+⋅⋅⋅

ex−e−x2=1+x+x33!+⋅⋅⋅\frac{e^x-e^{-x}}{2}=1+x+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot2ex−e−x=1+x+3!x3+⋅⋅⋅

具体应用：

可看红色病毒这题

题解:点击跳转

6.练手题目

排列组合
这应该是入门的板子题，我刚开始做的时候用了dfs的做法，虽然都过了，但相比之下母函数的做法要快得多，点此处查看题解
红色病毒
运用到了高数里的泰勒展开，点此处查看题解