二/三维空间曲面的切平面以及在某一点上的切线,法线
0 二维曲线
对于二维曲线上的某一个点,他的梯度组成的向量就是他的法向量,证:
因为二维曲线某一个点的曲线部分可以看成直线,设直线方程: ax+by+c=0ax+by+c=0ax + by + c = 0 那么他的斜率为−ab−ab-\frac{a}{b}, 该方程x方向与y方向的梯度分别为: (a,b)(a,b)(a, b),这个向量的斜率为baba\frac{b}{a},两者相乘恰好是-1,因此证明某个点的梯度其实就是这个点所在那部分曲线的法线。
以下转自: 文章地址
(博文大部分取自于北科的课件,略加整理而成…)
1.曲面方程为隐式方程的情况:
光滑曲面方程形式为:
在曲面上任意取一点M(x0,y0,z0),曲线方程为:
设t=t0时对应点M,那么M点处的切向量为:
切线方程为:
M点处的法向量为:,
法线方程为:
,,
å上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上,此平面称为在该点的切平面,切平面的方程为:
,
2.曲面方程为显式方程的情况:
实例:
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