空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线

2024-04-22 00:33:10

（一）空间曲线的切线和法平面

1. 参数方程的形式

理解和记忆如下公式：

参数方程在知道偏导数的情况下，得到该点的切线以及法平面的公式，笔者可以理解但是无法证明。

2. 可以转换为参数方程的第二种形式：

将y、z表示成x的方程，x代换为t，将y、z表达为t的参数方程的形式，是解决此类方程的出发点。
此种变换的本质，就是将多元函数转换为参数方程的形式。如此看来，如果多远函数无法转换为参数方程的形式，那么将无法求出此函数的切线方程和法平面。

3. 第二种形式的进一步扩展

该种形式的函数作如下处理，可以转化为第二种形式，然后得到切线和法平面。

最后根据雅可比式，按照第二种方式的处理方式，最终得到如下的切线和法平面：

第三种方式，实际上就是对方程求全导数，将y、z表达为x的函数，并求出y、z对x的导数，将x当作参数方程中的t，y、z当作t的参数方程，求导后，带入第一类方法中，求出切线和法平面的方程。

（二）曲面的切平面和法线

1. 普通形式

此处重点是理解（6-17）公式的含义。此公式可以看作两个向量的内积，因为内积为0，因此将此两个向量看作法向量和切线。曲面上定点每个变量的偏导数都是相等的，故可以推导出法向量的值，然后根据法向量推导出法线和切平面的公式。

2. 第二种形式

第二种形式是第一种形式的特例，思路还是转化为第一种方程的格式，根据公式，带入即可。

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