2d的公式_旋转之二 - 三维空间中的旋转:罗德里格旋转公式

接上篇：

复数与2D旋转

先来推导三维空间中的常用旋转公式。

三维空间中的旋转

如果

绕着空间中的一个单位向量

旋转，旋转我们采用右手坐标系:

可以把

分解成平行于

的向量

和

绕

旋转并不会造成什么改变。

当

平行于旋转轴

时，旋转

角度之后的

为:

根据正交投影公式：

观察

：

它可以表示为2D空间上的旋转，我们需要一组基来描述，可以选择

和

可以通过叉乘构造出来，它垂直于

和

，注意右手准则：

因为

是单位向量，上式算出来的

模长和

相同，所以下图是准确的：

有了这些条件之后：

当

正交于旋转轴

时，旋转

角度之后的

为:

所以最终旋转得到的

又：

将上述结论，

以及

代入回

：

3D空间中任意一个

沿着单位向量

旋转

角度之后的

为：

上述公式也就是罗德里格旋转公式（Rodrigues’ Rotation Formula），上述过程也就是其证明/推导过程。

参考：

- 罗德里格斯公式

- 四元数与三维旋转

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