CINTA：同构，同态与商群

3.如果 H \mathbb{H} H 1 _1 1和 H \mathbb{H} H 2 _2 2是群 G \mathbb{G} G的正规子群，证明 H \mathbb{H} H 1 _1 1 H \mathbb{H} H 2 _2 2也是群 G \mathbb{G} G的正规子群。

证：
根据正规子群的定义，对 ∀ g ∈ G \forall g\in\mathbb{G} ∀g∈G，有g H 1 \mathbb{H}_1 H1= H 1 \mathbb{H}_1 H1g，g H 2 \mathbb{H}_2 H2= H 2 \mathbb{H}_2 H2g。即对于任意g ∈ \in ∈ G \mathbb{G} G和h 1 _1 1 ∈ \in ∈ H 1 \mathbb{H}_1 H1,h 2 _2 2 ∈ H 2 \in\mathbb{H_2} ∈H2，存在h 1 ′ _1' 1′ ∈ \in ∈ H 1 \mathbb{H}_1 H1,h 2 ′ _2' 2′ ∈ H 2 \in\mathbb{H_2} ∈H2使得gh 1 _1 1=h 1 ′ _1' 1′g，gh 2 _2 2=h 2 ′ _2' 2′g。
H \mathbb{H} H 1 _1 1 H \mathbb{H} H 2 _2 2= { \lbrace {h 1 _1 1h 2 _2 2，h 1 _1 1 ∈ \in ∈ H 1 \mathbb{H}_1 H1，h 2 _2 2 ∈ \in ∈ H 2 \mathbb{H}_2 H2 } \rbrace }
g H \mathbb{H} H 1 _1 1 H \mathbb{H} H 2 _2 2= { \lbrace {gh 1 _1 1h 2 _2 2，h 1 _1 1 ∈ \in ∈ H 1 \mathbb{H}_1 H1，h 2 _2 2 ∈ \in ∈ H 2 \mathbb{H}_2 H2，g ∈ G \in\mathbb{G} ∈G } \rbrace }
H \mathbb{H} H 1 _1 1 H \mathbb{H} H 2 _2 2g= { \lbrace {h 1 _1 1h 2 _2 2g，h 1 _1 1 ∈ \in ∈ H 1 \mathbb{H}_1 H1，h 2 _2 2 ∈ \in ∈ H 2 \mathbb{H}_2 H2，g ∈ G \in\mathbb{G} ∈G } \rbrace }
对于任意g ∈ \in ∈ G \mathbb{G} G和h 1 _1 1 ∈ \in ∈ H 1 \mathbb{H}_1 H1,h 2 _2 2 ∈ H 2 \in\mathbb{H_2} ∈H2，存在h 1 ′ _1' 1′ ∈ \in ∈ H 1 \mathbb{H}_1 H1,h 2 ′ _2' 2′ ∈ H 2 \in\mathbb{H_2} ∈H2，使得：
gh 1 _1 1h 2 _2 2=h 1 ′ _1' 1′gh 2 _2 2=h 1 ′ _1' 1′h 2 ′ _2' 2′g，
h 1 _1 1h 2 _2 2g=h 1 _1 1gh 2 ′ _2' 2′=gh 1 ′ _1' 1′h 2 ′ _2' 2′。
满足g H \mathbb{H} H 1 _1 1 H \mathbb{H} H= H \mathbb{H} H 1 _1 1 H \mathbb{H} Hg， H \mathbb{H} H 1 _1 1 H \mathbb{H} H是正规子群。
原命题得证。

5.定义映射 ϕ \phi ϕ: G \mathbb{G} G → \rightarrow → G \mathbb{G} G为g → \rightarrow →g 2 ^2 2请证明 ϕ \phi ϕ是一种群同态当且仅当 G \mathbb{G} G是阿贝尔群。

证：
证明充分性：
由于 ϕ \phi ϕ是一种群同态，则 ∀ \forall ∀a,b ∈ \in ∈ G \mathbb{G} G， ϕ \phi ϕ(ab)= ϕ \phi ϕ(a) ϕ \phi ϕ(b)，因此(ab) 2 ^2 2=a 2 ^2 2b 2 ^2 2。
abab=a 2 ^2 2b 2 ^2 2=aabb，满足阿贝尔群的定义。
充分性得证。

证明必要性：
ϕ \phi ϕ(a)=a 2 ^2 2， ϕ \phi ϕ(b)=b 2 ^2 2
ϕ \phi ϕ(a) ϕ \phi ϕ(b)=a 2 ^2 2b 2 ^2 2=aabb，由于 G \mathbb{G} G是阿贝尔群，原式=(ab)(ab)=(ab) 2 ^2 2= ϕ \phi ϕ(ab)， ϕ \phi ϕ满足群同态。
必要性得证。

7.证明：如果 H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G上指标为 2 的子群，则 H \mathbb{H} H是 G \mathbb{G} G的正规子群。

证：
根据题意，[ G \mathbb{G} G: H \mathbb{H} H]=2。
根据定理8.1，由于[ G \mathbb{G} G: H \mathbb{H} H]=2， H \mathbb{H} H在 G \mathbb{G} G上有2个不同的左陪集。假设这两个左陪集分别是g 1 _1 1 H \mathbb{H} H和g 2 _2 2 H \mathbb{H} H，其中g 1 _1 1,g 2 _2 2 ∈ \in ∈ G \mathbb{G} G。
由于 H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G的子群，因此 H \mathbb{H} H满足群公理，根据封闭性，则 ∀ g ∈ H \forall g \in\mathbb{H} ∀g∈H，gh ∈ H \in\mathbb{H} ∈H。
若存在两个不同的左陪集，那么 g 1 , g 2 g_1,g_2 g1,g2一定是其中一个在 H \mathbb{H} H中，另一个不在 H \mathbb{H} H中。不妨设 g 1 ∈ H g_1\in\mathbb{H} g1∈H, g 2 ∉ H g_2\notin\mathbb{H} g2∈/H。

①若g ∈ \in ∈ H \mathbb{H} H
由于 H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G的子群，因此 H \mathbb{H} H满足群公理，根据封闭性，则 ∀ g ∈ H \forall g \in\mathbb{H} ∀g∈H，gh ∈ H \in\mathbb{H} ∈H且hg ∈ H \in\mathbb{H} ∈H。
根据陪集的定义，
g H \mathbb{H} H= { g h : h ∈ H } \lbrace gh:h\in\mathbb{H}\rbrace {gh:h∈H}，
H \mathbb{H} Hg= { h g : h ∈ H } \lbrace hg:h\in\mathbb{H}\rbrace {hg:h∈H}。
由于gh ∈ H \in\mathbb{H} ∈H且hg ∈ H \in\mathbb{H} ∈H，则显然，g H \mathbb{H} H= H \mathbb{H} H= H \mathbb{H} Hg。

②若g ∉ \notin ∈/ H \mathbb{H} H
根据封闭性，gh ∈ G \in\mathbb{G} ∈G且hg ∈ G \in\mathbb{G} ∈G，但gh ∉ H \notin\mathbb{H} ∈/H且hg ∉ H \notin\mathbb{H} ∈/H。那么gh ∈ F \in\mathbb{F} ∈F且hg ∈ F \in\mathbb{F} ∈F， F \mathbb{F} F为在 G \mathbb{G} G但不在 H \mathbb{H} H中的所有元素的集合，即 G \mathbb{G} G的另一个子群。
根据陪集的定义，
g H \mathbb{H} H= { g h : h ∈ H } \lbrace gh:h\in\mathbb{H}\rbrace {gh:h∈H}，
H \mathbb{H} Hg= { h g : h ∈ H } \lbrace hg:h\in\mathbb{H}\rbrace {hg:h∈H}。
由于gh ∈ F \in\mathbb{F} ∈F且hg ∈ F \in\mathbb{F} ∈F，则显然g H \mathbb{H} H= F \mathbb{F} F= H \mathbb{H} Hg。

以上证明同第八章习题4的证明，由此证得g H \mathbb{H} H= H \mathbb{H} Hg，则根据正规子群的定义， H \mathbb{H} H是 G \mathbb{G} G的正规子群。
原命题得证。

9.给定任意群 G \mathbb{G} G， H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G的正规子群。请证明，如果群 G \mathbb{G} G是循环群，则商群 G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H也是循环群。

证：
由于 H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G的正规子群， ∀ g ∈ G \forall g\in\mathbb{G} ∀g∈G，有g H \mathbb{H} H= H \mathbb{H} Hg，g H \mathbb{H} Hg − 1 ^{-1} −1= H \mathbb{H} H。
G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H= { g H : g ∈ G } \lbrace g\mathbb{H}:g\in\mathbb{G}\rbrace {gH:g∈G}。
设g为群 G \mathbb{G} G的一个生成元，设f=g k ^k k，其中k为整数，则有 f H f\mathbb{H} fH=g k ^k k H \mathbb{H} H。
由于 H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G的正规子群，原式=(g H \mathbb{H} H) k ^k k，因此，g H \mathbb{H} H为 G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H的生成元， G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H是循环群。
原命题得证。

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