Happy 2004（积性函数、快速幂取模、费马小定理、求因数和）

happy 2004

- 题目
积性函数
求因数和
费马小定理
- 定理
- 取模
- - 加减法
  - 乘法
  - 除法
  - - 结论
    - 推导
快速幂取模
- 快速幂
- 快速幂取模
题目代码
- 坑点

题目

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 20041 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.
Input
The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).
A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.
Output
For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.
Sample Input
1
10000
0
Sample Output
6
10

积性函数

本题中，2004的约数和S(2004x)S(2004^x)S(2004x)就是一个积性函数
积性函数:
p=a×b⇒S(p)=S(a)×S(b)p = a \times b\Rightarrow S(p) = S(a) \times S(b)p=a×b⇒S(p)=S(a)×S(b)
pn=an×bn⇒S(pn)=S(an)×S(bn)p^n = a^n\times b^n\Rightarrow S(p^n) = S(a^n) \times S(b^n)pn=an×bn⇒S(pn)=S(an)×S(bn)
a和b均为质数

求因数和

S(pn)=S(p^n) =S(pn)= pn+1−1p−1{p^{n + 1} - 1}\over{p - 1}p−1pn+1−1
ppp是质数

费马小定理

定理

假如是一个整数aaa
，ppp是一个质数，ap−aa^p - aap−a那么是ppp的倍数，可以表示为
ap%p=aa^p \% p = aap%p=a
如果aaa不是ppp的倍数，这个定理也可以写成
ap−1%p=1a^{p - 1}\%p = 1ap−1%p=1
在本题中，费马小定理的应用为：
aaa与ppp互质时，
有ap−1%p=1a^{p - 1} \% p =1ap−1%p=1
再由同余定理：1%p=11\%p = 11%p=1
可得ap−1%p=1%p=1a^{p-1}\%p = 1\%p = 1ap−1%p=1%p=1

取模

加减法

(a±b)%p=a%p±b%p(a \pm b)\%p = a\%p \pm b\%p(a±b)%p=a%p±b%p

乘法

(a×b)%p=(a%p)×(b%p)%p(a \times b) \% p = (a\%p) \times (b \% p) \%p(a×b)%p=(a%p)×(b%p)%p

除法

//不能直接分配了，要转化成乘法再做

结论

(ab)%c=(a×bc−2)%c(\frac{a}{b})\% c = (a \times b^{c - 2}) \% c(ba)%c=(a×bc−2)%c

推导

(ab)%c=(a×b−1)%c=(a×b−1×1)%c(\frac{a}{b})\% c = (a \times b^{-1}) \% c = (a \times b^{-1} \times 1 ) \%c(ba)%c=(a×b−1)%c=(a×b−1×1)%c
(a×b−1×bc−1)%c=(a×bc−2)%c(a \times b^{-1} \times b^{c - 1}) \% c = (a \times b^{c - 2}) \% c(a×b−1×bc−1)%c=(a×bc−2)%c

快速幂取模

快速幂

求xnx^nxn

int pow(int x,int n)
{int ans = 1,base = x;while(n){if(n & 1)ans *= base;base *= base;n >>= 1;}return ans;
}

快速幂取模

求xn%px^n\%pxn%p

int pow_mod(int x, int n, int p)
{int base = x, ans = 1;while(n){if(n & 1) ans *=  base;base = (base * base) % p;n >>= 1;}return ans % p;
}

题目代码

#include <stdio.h>
long long int pow_mod(int x,int b);
int cal(int x);
int main()
{int x[100],s[100];int counter = 0,i;scanf("%d",x);while(x[counter] != 0){s[counter] = cal(x[counter]) % 29;//printf("%d\n",s[counter]);counter++;scanf("%d",&x[counter]);}for(i = 0;i < counter;i++)printf("%d\n",s[i]);return 0;
}
int cal(int x)
{int a,b,c;a = (pow_mod(2, 2 * x + 1) - 1 ) % 29;b = (pow_mod(3, x + 1) - 1) * pow_mod(2, 27) % 29;c = (pow_mod(22, x + 1) - 1) * pow_mod(21, 27) % 29;return a * b * c % 29;
}
long long int pow_mod(int x,int b)
{long long int base = x, ans = 1;while(b){if(b & 1) ans *=  base;base = (base * base) % 29;b >>= 1;}return ans % 29;
}

坑点

1.取模那里要用long long int，用int 可能会不够长，我用int的时候会出现WA，改成long long int 就accepted了（不过我没想明白为什么不够长，base是不断取模的，按道理来讲，也不会太大啊？）

我也不知道这道题happy不happy，反正我是不怎么happy了。。。
总结了多位大佬们的博客，加上自己的一些理解，写了一份给自己看的总结，看不懂就去看看大佬们写的博客吧。这个博客主要还是写给我自己看的，阅读性不太强。