2022牛客多校（十）

一、比赛小结

比赛链接："蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营10

二、题目分析及解法（基础题）

F、Shannon Switching Game?

题目链接：F-Shannon Switching Game?

题意：

给定一个无向图，初始时有一个token在s点，两个玩家Join Player和Cut Player轮流行动，Cut Player先动。Cut Player每次可以移除一条和token所在位置相邻的边, Join Player每次可以将token沿着一条未删除边移动, 如果token在某刻被移动到t则Join Player获胜，否则Cut Player获胜，求双方最优策略下的胜者。

题解：

我们可以求出在双方最优策略下使得Join Player可以将token移动到t的所有token起点集合,把这个集合叫做good set
首先,t点一定是在good set中的，我们从t开始逐步构建good set。某个不在good set中的顶点v如果有至少两条边连向good set中的某个顶点，那么从该点出发的话，由于Cut Player在一次操作中只能切断其中的一条边，那么Join Player一定可以在一次操作后将token移动到good set中的某个顶点，因此此时v也在good set中。
如果在某一时刻，任何不在good set中的顶点都只有至多一条边连向good set中的某个顶点,那么从不在good set中的任一顶点出发，Cut Player只需要每次切断可能连向good set的边即可,那么此时不在goodset中的顶点一定都不能到达t点。
构建可以通过维护一个队列来实现，时间复杂度为O(n+m),其中n是顶点个数,m是边数。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T, n, m, s, t;
const int maxn = 1e2 + 5;
int g[maxn][maxn], num[maxn];
bool vis[maxn];
bool bfs() {queue<int> q;q.push(t);vis[t] = 1;while (q.size()) {int u = q.front();q.pop();for (int i = 1; i <= n; i++) {if (vis[i]) continue;num[i] += g[u][i];if (num[i] > 1) {q.push(i);vis[i] = 1;}}}return num[s] > 1;
}
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> T;while (T--) {memset(vis, 0, sizeof vis);memset(g, 0, sizeof g);memset(num, 0, sizeof num);cin >> n >> m >> s >> t;while (m--) {int u, v;cin >> u >> v;g[u][v]++;g[v][u]++;}cout << (bfs() ? "Join Player" : "Cut Player") << endl;}return 0;
}

H、Wheel of Fortune

题目链接：H-Wheel of Fortune

题意：

炉石传说，一方转动了尤格萨隆的命运之轮触发了炎爆选项，双方英雄的血量分别为 AAA 和 BBB ，双方场面的血量分别为 {ai∣1≤i≤7}\{a_i|1\leq i \leq 7\}{ai∣1≤i≤7} 和 {bi∣1≤i≤7}\{b_i|1\leq i \leq 7\}{bi∣1≤i≤7} ，问 AAA 获胜的概率，答案对 998244353998244353998244353 取模

题解：

答案其实和怪的血量是无关的，令 x=⌈A10⌉,y=⌈B10⌉x=\lceil \frac{A}{10} \rceil , y = \lceil \frac{B}{10} \rceilx=⌈10A⌉,y=⌈10B⌉ ，则答案为 ∑i=0x−1(i+y−1i)⋅2−(y+i)\displaystyle \sum_{i=0}^{x-1} {i+y-1 \choose i} \cdot 2^{-(y+i)}i=0∑x−1(ii+y−1)⋅2−(y+i)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e7 + 5;
const int mod = 998244353;
ll A, B, a, b, x, res;
ll fact[maxn];
ll qpow(ll a, ll n, ll mod) {ll res = 1;while (n) {if (n & 1) res = (res * a) % mod;a = (a * a) % mod;n >>= 1;}return res;
}
ll inv(ll a, ll p) { return qpow(a, p - 2, p); }
ll C(ll b, ll a) {return fact[a] * inv(fact[b], mod) % mod * inv(fact[a - b], mod) % mod;
}
void init() {fact[0] = 1;for (int i = 1; i < maxn; i++) {fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;}
}
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);init();cin >> A;for (int i = 1; i <= 7; i++) cin >> x;cin >> B;for (int i = 1; i <= 7; i++) cin >> x;a = ceil(1.0 * A / 10), b = ceil(1.0 * B / 10);for (int i = b; i <= b + a - 1; i++)res = (res + C(b - 1, i - 1) * inv(qpow(2, i, mod), mod) % mod) % mod;cout << res << endl;return 0;
}

I、Yet Another FFT Problem?

题目链接：I-Yet Another FFT Problem?

题意：

给定两个序列 A={ai},B={bi}A=\{a_i\}, B=\{b_i\}A={ai},B={bi} ，是否存在 i,j,k,li, j, k, li,j,k,l 使得

1≤i≠j≤n,1≤k≠l≤m1\leq i\not= j \leq n, 1\leq k\not= l \leq m1≤i=j≤n,1≤k=l≤m
∣ai−aj∣=∣bk−bl∣|a_i-a_j| = |b_k-b_l|∣ai−aj∣=∣bk−bl∣

题解：

不失一般性，我们假设序列 A,BA,BA,B 中均无重复元素，题目等价叙述为找到一组 i,j,k,li, j, k, li,j,k,l 使得

1≤i≠j≤n,1≤k≠l≤m1\leq i\not= j \leq n, 1\leq k\not= l \leq m1≤i=j≤n,1≤k=l≤m
ai+bl=aj+bka_i+b_l=a_j+b_kai+bl=aj+bk

那么我们只需遍历 {ai+bj}\{a_i+b_j\}{ai+bj} ，利用抽屉原理遍历一下即可找到答案

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e7 + 7;
const int N = 1e6 + 7;
int n, m;
int a[N], b[N], apos[MAXN], bpos[MAXN];
bool t[MAXN << 1];
int ansa[MAXN << 1], ansb[MAXN << 1];
signed main() {scanf("%d%d", &n, &m);vector<int> ans;for (int i = 1; i <= n; i++) {int x;scanf("%d", &x);a[i] = x;if (!apos[x]) {apos[x] = i;} else if (ans.size() == 0) {ans.push_back(apos[x]);ans.push_back(i);}}for (int i = 1; i <= m; i++) {int x;scanf("%d", &x);b[i] = x;if (!bpos[x]) {bpos[x] = i;} else if (ans.size() == 2) {ans.push_back(bpos[x]);ans.push_back(i);}}if (ans.size() == 4) {for (auto v : ans) cout << v << " ";return 0;} else {sort(a + 1, a + n + 1);n = unique(a + 1, a + n + 1) - a - 1;sort(b + 1, b + m + 1);m = unique(b + 1, b + m + 1) - b - 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {int x = a[i] + b[j];if (t[x]) {printf("%d %d %d %d", ansa[x], apos[a[i]], ansb[x], bpos[b[j]]);return 0;}ansa[x] = apos[a[i]];ansb[x] = bpos[b[j]];t[x] = 1;}}printf("-1\n");}return 0;
}

三、题目分析及解法（进阶题）