MST

题解

首先我们知道，如果我们将原本的的边集分成两部分，对其分别求最小生成树（即使建不出完整的树也没关系），再将这两部分中是最小生成树的边集合在一起，求最小生成树，我们求出来的最小生成树一定是原边集的最小生成树。
这东西通过Kruskal的方法是很容易证明的，毕竟原边集最小生成树的边肯定都会选进边集子集的最小生成树。

原题目的两点间加边的代价为valu+valv+dist(u,v)val_{u}+val_{v}+dist(u,v)valu+valv+dist(u,v)，所以应该很容易联想到通过点分治来求出哪些边可能成为最小生成树的边。
我们设当前子树的重心为uuu，我们可以将当前子树内的边集分成两部分：
两端点都在重心的每个子树内的边与两个端点中有一个在重心上或两个端点在不同的子树上。
显然，第一类的边在每棵子树上是独立的，我们可以下传到该子树内去求。
而对于第二类的边，我们考虑哪些边是可能被选取的。
我们定义disi=vali+dist(u,i)dis_{i}=val_{i}+dist(u,i)disi=vali+dist(u,i)，很显然，对于两个不在同一棵上的两点，它们是一定会过我们的重心的，连接(x,y)(x,y)(x,y)的代价为disx+disydis_{x}+dis_{y}disx+disy。
显然，我们在连接这棵树的最小生成树时，这部分的边会加入的只有可能有每个点与disdisdis值最小的点之间连边。
所以我们可以去找出这棵树内disdisdis值最小的点，将它与该树内其它点直接的边加进去。
显然，这些点此时与其它点之间最短的边都是与该点的边，可以跟BruvkaBruvkaBruvka一样理解，我们此时加入的边一定是这条边，该点与其他点的边一定不会在这层加入。
很明显，根据点分治，我们加入的边总数是nlognnlog\,nnlogn级别的，我们此时可以通过Kruskal边集的最小生成树。

时间复杂度O(nlog⁡n)O\left(n\log\,n\right)O(nlogn)。

源码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int n1=50;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){putchar('\n');while(x>9){putchar((x%10)|'0');x/=10;}putchar(x|'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,siz[MAXN],Rt,N,mx,head[MAXN],tot,disk[MAXN],cnt,fa[MAXN];
LL dis[MAXN],val[MAXN],dep[MAXN],ans;
bool vis[MAXN];
vector<int>vec;
struct ming{int u,v;LL w;}s[MAXN*30];
bool cmp(ming x,ming y){return x.w<y.w;}
struct edge{int to,nxt;LL paid;}e[MAXN<<1];
void addEdge(int u,int v,int w){e[++tot]=(edge){v,head[u],(LL)w};head[u]=tot;}
void findRoot(int u,int fa){siz[u]=1;int maxx=0;for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(v==fa||vis[v])continue;findRoot(v,u);siz[u]+=siz[v];maxx=max(maxx,siz[v]);}maxx=max(maxx,N-siz[u]);if(maxx<mx)mx=maxx,Rt=u;
}
void dosaka(int u,int fa){dis[u]=dep[u]+val[u];disk[u]=u;siz[u]=1;vec.pb(u);for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(v==fa||vis[v])continue;dep[v]=dep[u]+e[i].paid;dosaka(v,u);siz[u]+=siz[v];if(dis[v]<dis[u])dis[u]=dis[v],disk[u]=disk[v];}
}
void sakura(int u){N=siz[u];if(N==1)return ;Rt=0;mx=INF;vec.clear();findRoot(u,0);dep[Rt]=0;dosaka(Rt,0);u=Rt;int siz=vec.size();vis[u]=1;//printf("sakura %d:%lld %d\n",u,dis[u],disk[u]);for(int i=0;i<siz;i++)s[++cnt]=(ming){disk[u],vec[i],dep[vec[i]]+val[vec[i]]+dis[u]};for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)if(!vis[e[i].to])sakura(e[i].to);
}
void makeSet(int x){for(int i=1;i<=x;i++)fa[i]=i;}
int findSet(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=findSet(fa[x]);}
void unionSet(int a,int b){int u=findSet(a),v=findSet(b);if(u^v)fa[u]=v;}
signed main(){read(n);for(int i=1;i<=n;i++)read(val[i]);int tim=0;for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)read(u),read(v),read(w),addEdge(u,v,w),addEdge(v,u,w);siz[1]=n;sakura(1);makeSet(n);sort(s+1,s+cnt+1,cmp);for(int i=1;i<=cnt;i++){int u=s[i].u,v=s[i].v;LL w=s[i].w;if(findSet(u)==findSet(v))continue;unionSet(u,v);ans+=w;tim++;if(tim==n-1)break;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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