2019阿里校招测评题光明小学完全图最短路径问题

题目：

光明小学的小朋友们要举行一年一度的接力跑大赛了，但是小朋友们却遇到了一个难题：设计接力跑大赛的线路，你能帮助他们完成这项工作么？
光明小学可以抽象成一张有N个节点的图，每两点间都有一条道路相连。光明小学的每个班都有M个学生，所以你要为他们设计出一条恰好经过M条边的路径。
光明小学的小朋友们希望全盘考虑所有的因素，所以你需要把任意两点间经过M条边的最短路径的距离输出出来以供参考。

你需要设计这样一个函数：
res[][] Solve( N, M, map[][]);
注意：map必然是N * N的二维数组，且map[i][j] == map[j][i]，map[i][i] == 0，-1e8 <= map[i][j] <= 1e8。（道路全部是无向边，无自环）2 <= N <= 100, 2 <= M <= 1e6。

map数组表示了一张稠密图，其中任意两个不同节点i,j间都有一条边，边的长度为map[i][j]。N表示其中的节点数。
你要返回的数组也必然是一个N * N的二维数组，表示从i出发走到j，经过M条边的最短路径
你的路径中应考虑包含重复边的情况。

样例：

N = 3
M = 2
map = {
{0, 2, 3},
{2, 0, 1},
{3, 1, 0}
}

输出结果result为：
result = {
{4, 4, 3},
{4, 2, 5},
{3, 5, 2}
}

输入样例：

3
2
3 3
0 2 3
2 0 1
3 1 0

输出样例：

[[4, 4, 3],

[4, 2, 5],

[3, 5, 2]]

解题思路：

首先第一点是肯定的，全排列肯定是可以求出解的，但是时间复杂度那肯定是爆炸的，当然，30分钟的时间里面能把全排列写出来也是可以的了我感觉。

但是还是想试试动态规划能不能求解，我们把每一步的中间结果都存下来，相当于对搜索进行了剪枝操作。当然，动态规划是基于以下的假设：

如果从点s到点t存在最小路径而且正好经过点c，那从s到c的所有路径当中，这条s->c一定是最短路径。

很好理解，如果当前这条s->c（我们称之为l1）不是最短的话，那肯定存在一条s->c路径（l2）最短，那走2到t肯定比走l1到t短，所以l1肯定就被替换掉了。

代码实现：

全排列版：

public class Test {private static int[][] resultMap;private static int times = 0;public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 初始化int N = scanner.nextInt();int M = scanner.nextInt();int[][] map = new int[N][N];for (int i = 0; i < N; i ++) {for (int j = 0; j < N; j ++) {map[i][j] = scanner.nextInt();}}resultMap = new int[N][N];// 执行for (int i = 0; i < N; i ++) {route(map, N, M, 1, i, i, 0);}// 打印System.out.println("total recursion: " + times);for (int i = 0; i < N; i ++) {for (int j = 0; j < N; j ++) {System.out.print(resultMap[i][j] + " ");}System.out.println("");}}private static void route(int[][] map, int N, int M, int step, int head, int now, int cost) {times ++;if (step > M) {resultMap[head][now] = resultMap[head][now] == 0 ? cost : (Math.min(resultMap[head][now], cost));return;}for (int i = 0; i < N; i ++) {if (i == now) continue;route(map, N, M, step + 1, head, i, cost + map[now][i]);}}
}

动态规划版：

public class Test {private static int[][][] resultMap;private static int times = 0;public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 初始化int N = scanner.nextInt();int M = scanner.nextInt();int[][] map = new int[N][N];for (int i = 0; i < N; i ++) {for (int j = 0; j < N; j ++) {map[i][j] = scanner.nextInt();}}resultMap = new int[M][N][N];// 执行，动态规划// 初始化步数为1的情况for (int i = 0; i < N; i ++) {for (int j = 0; j < N; j ++) {resultMap[0][i][j] = map[i][j];}}// 更新步数2-M的情况for (int k = 1; k < M; k ++) {for (int i = 0; i < N; i ++) {for (int j = 0; j < N; j ++) {for (int p = 0; p < N; p ++) {times ++;if (p == j || resultMap[k - 1][i][p] == 0) continue;resultMap[k][i][j] = Math.min(resultMap[k][i][j] == 0 ? Integer.MAX_VALUE : resultMap[k][i][j], resultMap[k - 1][i][p] + map[p][j]);}}}}// 打印System.out.println("total recursion: " + times);for (int i = 0; i < N; i ++) {for (int j = 0; j < N; j ++) {System.out.print(resultMap[resultMap.length - 1][i][j] + " ");}System.out.println("");}}
}

测试结果

3
2
0 2 3
2 0 1
3 1 0
total recursion: 21
4 4 3
4 2 5
3 5 2