python笔试题奥特曼打怪兽_2019阿里校招测评题，光明小学完全图最短路径问题(python实现)...

题目：光明小学的小朋友们要举行一年一度的接力跑大赛了，但是小朋友们却遇到了一个难题：设计接力跑大赛的线路，你能帮助他们完成这项工作么？

光明小学可以抽象成一张有N个节点的图，每两点间都有一条道路相连。光明小学的每个班都有M个学生，所以你要为他们设计出一条恰好经过M条边的路径。

光明小学的小朋友们希望全盘考虑所有的因素，所以你需要把任意两点间经过M条边的最短路径的距离输出出来以供参考。

你需要设计这样一个函数：

res[][] Solve( N, M, map[][]);

注意：map必然是N * N的二维数组，且map[i][j] == map[j][i]，map[i][i] == 0，-1e8 <= map[i][j] <= 1e8。（道路全部是无向边，无自环）2 <= N <= 100, 2 <= M <= 1e6。要求时间复杂度控制在O(N^3*log(M))。

map数组表示了一张稠密图，其中任意两个不同节点i,j间都有一条边，边的长度为map[i][j]。N表示其中的节点数。

你要返回的数组也必然是一个N * N的二维数组，表示从i出发走到j，经过M条边的最短路径

你的路径中应考虑包含重复边的情况。

一、求解

先来说一下求解这一题的思路，这个问题的本质就是M步无向图的最短路径遍历，一般求解最短路径问题，我们首先想到的就是采用递归实现。

已知有N个节点，求解从节点i到节点j之间的M步的最短路径问题，我们可以把M步分解成1步和M-1步：

1、假设存在节点k，且k节点不同于节点i,节点j，第一步求解节点i到节点k之间的1步最短路径

2、剩下M-1步，可以看做求解节点k到节点j之间的M-1步最短路径问题

3、当k取不同值时，我们会得到多个距离值，选取最小的一个距离值

#-*- coding: utf-8 -*-

"""Created on Fri Aug 3 08:54:35 2018

@author: zy"""

importnumpy as npdefSolve(maps,M):'''由N个节点两两连接组成路径，选取从节点i->节点j之间的最短M条路径

param:

maps:二维数组，由两两节点之间的路径长度组成

M:表示所经过的路径个数'''

'''输入校验'''

if notisinstance(maps,(list,np.ndarray)):raise ValueError('输入参数maps数据类型必须是list或者numpy.array')if len(maps.shape) != 2:raise ValueError('输入参数maps为二维数组')if maps.shape[0] != maps.shape[1]:raise ValueError('输入二维数组maps行数和列数要求一致')#计算节点的个数

N =maps.shape[0]if N<2 or N>100:raise ValueError('输入二维数组maps行数必须在2~100之间')if M<2 or M>1E6:raise ValueError('输入参数N的值必须在2~1e6之间')#输入二维数组数值校验

for i inrange(N):for j inrange(i,N):if maps[i][j] !=maps[j][i]:raise ValueError('输入二维数组maps必须是对称的')if maps[i][j] < -1e8 or maps[i][j] > 1e8:raise ValueError('二维数组maps的元素值必须在-1e8~1e8之间')if i==j:if maps[i][j] !=0:raise ValueError('二维数组maps的对角元素值必须是0')#用于保存i->j的路径值

res =np.zeros_like(maps)#计算节点i->j的最短路径

for i inrange(N):for j inrange(i,N):

res[i][j]=MinPath(maps,M,i,j)

res[j][i]=res[i][j]returnresdefMinPath(maps,M,i,j):'''计算i->j的最短路径'''

#递归终止条件

if M == 1:returnmaps[i][j]'''计算i->j的最短路径'''N=maps.shape[0]#用于保存i->j的可能路径长度

length =np.zeros(N)#遍历从k->j的最短路径

for k inrange(N):if k != i and k !=j:#k->j的M-1条最短路径 + i->k的一条路径

length[k] = MinPath(maps,M-1,k,j) +maps[i][k]#进行排序，过滤掉为0的值

length =np.sort(length)for i inlength:if i !=0:returniif __name__ == '__main__':#maps = np.array([[0,2,3],[2,0,1],[3,1,0]])

maps = np.array([[0,2,3,4],

[2,0,1,3],

[3,1,0,2],

[4,3,2,0]

])

M= 3result=Solve(maps,M)print(result)

二、时间复杂度分析

我们来分析一下该算法的时间复杂度。

先来分析一下递归函数MinPath(maps,M,i,j):

1、函数的规模为M

2、当规模是1时，函数结束

3、假设T(M)表示规模为M的问题所需要的步骤数

算法的递归方程为：T(M) = (N-2)T(M - 1) +3N+6

注释：3N+6表示规模毎减少一次，所做的步骤数

if M==1: 1次

N=maps.shape[0] 1次

length = np.zeros(N) 1次

for k in range(N): N次

if k != i and k != j: N次

+maps[i][k] 当i==j时 N-1次，否则N-2次我们取N-2次

length =np.sort(length) 1次

最后的for循环 2次或者4次我们取4次

迭代展开：T(M) = (N-2)T(M - 1) + 3N+6

=(N-2)[(N-2)T(M-2) + 3N + 6] + 3N+6

=(N-2)2T(M-2) + (N-2)(3N+6) + 3N+6

=(N-2)3T(M-3) + (N-2)2(3N+6) + (N-2)(3N+6) + 3N+6

=....

=(N-2)(M-1) + (N-2)(M-2)(3N+6)+...+3N+6

=(N-2)(M-1) + [(N-2)(M-1)(3N+6) - 3N-6]/(N-3)

= O((N-2)(M-1))

Solve函数中递归函数循环的次数为N(1+N)/2，所以算法的复杂度为O(N2(N-2)(M-1))。并没有满足题目的要求，更好的求解方法我还没有想到，有了解的大佬可以告诉小弟。

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