零空间的基和秩-零化度定理

零空间及零空间的基

一个齐次线性系统A⋅x=0A\cdot x=0A⋅x=0的解就是对应的系数矩阵的零空间。

首先通过一个简单的齐次线性方程组进行演示，
(−1231−4−13−354)⟹(107015000)⋅(x1x2x3)=(000)⟹(−7x3−5x3x3)=(−7−51)x3\begin{pmatrix}-1&2&3\\1&-4&-13\\-3&5&4\end{pmatrix}\Longrightarrow\begin{pmatrix}1&0&7\\0&1&5\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\Longrightarrow\begin{pmatrix}-7x_3\\-5x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-5\\1\end{pmatrix}x_3 ⎝⎛−11−32−453−134⎠⎞⟹⎝⎛100010750⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞⟹⎝⎛−7x3−5x3x3⎠⎞=⎝⎛−7−51⎠⎞x3
该线性系统的零空间维度为1，向量 (-7, -5, 1)是该空间的一组基。

实际问题中会遇上更多的复杂情况，如下面这个复杂矩阵，

进一步的将解向量进行提取，得到下面的四个向量，

这实际上就是这四个向量的生成空间，同时也是这个复杂的线性系统的解，同样也是该线性系统系数矩阵的零空间的一组基，该零空间的维度是四维。

秩-零化度定理

回顾最开始通过Gauss-Jordan消元法得到的矩阵的行最简形式，

可以总结如下，一个m×nm×nm×n的矩阵，将其化为行最简形式，其主元列的个数为列空间的维度；如果已知主元列的数目就可以得到自由列的数目，自由列列数就是零空间的维度。列空间维度+零空间维度=nnn。

对于一个矩阵而言，行秩=列秩，统称为矩阵的秩(rank)。零空间的维度称为零化度(nullity)，故可以得到秩-零化度定理：秩+零化度=nnn。

列空间与零空间对比

对于一个m×nm×nm×n的矩阵，

列空间	零空间
Ax=vAx=vAx=v(vvv任取)	Ax=0Ax=0Ax=0
列空间是mmm维空间的子空间	零空间是nnn维空间的子空间
列空间的维度是行最简形式中主元列的数目	零空间的维度是行最简形式中自由列的数目
主元列对应原矩阵的列，是列空间的一组基	求取零空间的基需要求解齐次线性系统

零空间与矩阵的逆

当行最简形式不存在自由列时，零空间的维度为0。此时矩阵是满秩的。因为矩阵满秩的等价命题是矩阵存在逆矩阵，所以在矩阵可逆的命题中又多了一条等价命题。

深入理解零空间

AAA的零空间就是Ax=0Ax=0Ax=0中，所有xxx组成的空间
零空间是一个集合，这个集合中的所有向量与AAA的行向量的点乘结果为0
这个集合中所有的向量与AAA的行空间中所有的向量垂直(正交)

左零空间

回顾已有的三个子空间

第四个子空间

矩阵的列空间与之对应的是矩阵的零空间。理论上也会存在一个与矩阵的行空间对应的空间，可以使用 Null(AT)Null(A^T)Null(AT)进行表示，称为左零空间。

线性系统 ATx=0A^Tx = 0ATx=0的解所对应的空间就是矩阵A的左零空间。之所以称为左零空间，源自于对该空间线性系统表达式的推导，

研究子空间的意义

子空间的维度比原空间的维度低，尤其是面对维度很高的数据时，不仅难分析而且计算量极大。如果可以降维，可以简化问题的研究。

在实际的研究中，很多情况下都会遇到 Ax=bAx=bAx=b，这样的线性系统，若AAA的行数大于列数（可以理解为样本数目大于特征数目），即方程数大于未知数个数。此时线性系统是无解的，因此很难学习到有用的知识。在AAA的列空间中寻找一个离bbb最近的b′b'b′。转而求解 Ax=b′Ax=b'Ax=b′。

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