Wilson定理

首先，设p为素数，r₁,r₂…，r_p-1是模p的既约剩余系
故我们有 ∏ r m o d p ′ r ≡ r 1 … r p − 1 ≡ − 1 ( m o d p ) . \prod_{r~mod~p} ~'r\equiv~r_1…r_{p-1}\equiv-1(mod~p). r mod p∏ ′r≡ r1…rp−1≡−1(mod p).
特别地，有 ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) . (p-1)!\equiv-1(mod~p). (p−1)!≡−1(mod p).
r i r j ≡ 1 ( m o d p ) . 使 r i = r j 的充要条件是： r i 2 ≡ 1 ( m o d p ) . 即 ( r i − 1 ) ( r i + 1 ) ≡ 0 ( m o d p ) . r_ir_j\equiv1(mod~p).\\使r_i=r_j的充要条件是：\\r_i^2\equiv1(mod~p).\\即(r_i-1)(r_i+1)\equiv0(mod~p). rirj≡1(mod p).使ri=rj的充要条件是：ri2≡1(mod p).即(ri−1)(ri+1)≡0(mod p).
由于p是素数且p ≥ \geq ≥ 3,所以上式成立当且仅当
r i − 1 ≡ 0 ( m o d p ) 或 r i + 1 ≡ 0 ( m o d p ) . r_i-1\equiv0(mod~p)或r_i+1\equiv0(mod~p). ri−1≡0(mod p)或ri+1≡0(mod p).
由于素数p ≥ \geq ≥ 3,所以，这两式不能同时成立。所以在这组模p的既约剩余系中，除了 r i ≡ 1 , − 1 ( m o d p ) r_i\equiv1,-1(mod~p) ri≡1,−1(mod p)
故有 r 2 … r p − 2 ≡ 1 ( m o d p ) . r_2…r_p-2\equiv1(mod~p). r2…rp−2≡1(mod p).

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