一道很有趣的多元函数求极值问题）

题目
一、求雅克比（Jacobian）矩阵
二、求驻点
三、计算驻点处函数值
四、计算驻点处黑塞（Hessian）矩阵
五、证明驻点处黑塞（Hessian）矩阵为负定矩阵
结论

本文部分地方存在计算错误，但思路是正确的，后面等我有时间改一下

题目

设 0<a<b,n⩾10<a<b,n\geqslant 10<a<b,n⩾1. 试在 (a,b)(a,b)(a,b) 中选取 nnn 个点 x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn 使得：
f=x1x2⋯xn(a+x1)(x1+x2)⋯(xn+b)(1)f=\frac{x_1x_2\cdots x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)\cdots(x_n+b)}\tag{1} f=(a+x1)(x1+x2)⋯(xn+b)x1x2⋯xn(1)

取最大值

一、求雅克比（Jacobian）矩阵

为了书写简便，我们令

f1≜x1x2⋯xnf2≜(a+x1)(x1+x2)+⋯+(xn+b)\begin{aligned} f_1 &\triangleq x_1x_2\cdots x_n\\ f_2&\triangleq(a+x_1)(x_1+x_2)+\cdots+(x_n+b) \end{aligned}f1f2≜x1x2⋯xn≜(a+x1)(x1+x2)+⋯+(xn+b)

考虑

∂f∂xii=1,2,⋯n\frac{\partial f}{\partial x_i}\qquad i=1,2,\cdots n∂xi∂fi=1,2,⋯n

当 i=1i =1i=1 时：

∂f∂x1=∂f1x1f2−f1∂f2x1f22=f1x1f2−f1(a+2x1+x2)f2(a+x1)(x1+x2)f22=f1x1f2−f1f2a+2x1+x2(a+x1)(x1+x2)=fx1−f(a+x1(a+x1)(x1+x2)+x1+x2(a+x1)(x1+x2))=f(1x1−1x1+x2−1a+x1)\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}&=\dfrac{\dfrac{\partial f_1}{x_1}}{f_2}-f_1\dfrac{\dfrac{\partial f_2}{x_1}}{f_2^2}\\ &=\dfrac{\dfrac{f_1}{x_1}}{f_2}-f_1\dfrac{(a+2x_1+x_2)\dfrac{f_2}{(a+x_1)(x_1+x_2)}}{f_2^2}\\ &=\dfrac{f_1}{x_1f_2}-\dfrac{f_1}{f_2}\frac{a+2x_1+x_2}{(a+x_1)(x_1+x_2)}\\ &=\frac{f}{x_1}-f\left(\frac{a+x_1}{(a+x_1)(x_1+x_2)}+\frac{x_1+x_2}{(a+x_1)(x_1+x_2)}\right)\\ &=f(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{a+x_1}) \end{aligned}∂x1∂f=f2x1∂f1−f1f22x1∂f2=f2x1f1−f1f22(a+2x1+x2)(a+x1)(x1+x2)f2=x1f2f1−f2f1(a+x1)(x1+x2)a+2x1+x2=x1f−f((a+x1)(x1+x2)a+x1+(a+x1)(x1+x2)x1+x2)=f(x11−x1+x21−a+x11)

当 2⩽i⩽n−12\leqslant i\leqslant n-12⩽i⩽n−1 时：

∂f∂xi=∂f1xif2−f1∂f2xif22=f1xif2−f1(xi−1+2xi+xi+1)f2(xi−1+xi)(xi+xi+1)f22=f1xif2−f1f2xi−1+2xi+xi+1(xi−1+xi)(xi+xi+1)=fxi−f(xi−1+xi(xi−1+xi)(xi+xi+1)+xi+xi+1(xi−1+xi)(xi+xi+1))=f(1xi−1xi−1+xi−1xi+xi+1)\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}&=\dfrac{\dfrac{\partial f_1}{x_i}}{f_2}-f_1\dfrac{\dfrac{\partial f_2}{x_i}}{f_2^2}\\ &=\dfrac{\dfrac{f_1}{x_i}}{f_2}-f_1\dfrac{(x_{i-1}+2x_i+x_{i+1})\dfrac{f_2}{(x_{i-1}+x_{i})(x_i+x_{i+1})}}{f_2^2}\\ &=\dfrac{f_1}{x_if_2}-\dfrac{f_1}{f_2}\frac{x_{i-1}+2x_i+x_{i+1}}{(x_{i-1}+x_i)(x_i+x_{i+1})}\\ &=\frac{f}{x_i}-f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{(x_{i-1}+x_i)(x_i+x_{i+1})}+\frac{x_i+x_{i+1}}{(x_{i-1}+x_i)(x_i+x_{i+1})}\right)\\ &=f(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_{i-1}+x_i}-\frac{1}{x_i+x_{i+1}}) \end{aligned}∂xi∂f=f2xi∂f1−f1f22xi∂f2=f2xif1−f1f22(xi−1+2xi+xi+1)(xi−1+xi)(xi+xi+1)f2=xif2f1−f2f1(xi−1+xi)(xi+xi+1)xi−1+2xi+xi+1=xif−f((xi−1+xi)(xi+xi+1)xi−1+xi+(xi−1+xi)(xi+xi+1)xi+xi+1)=f(xi1−xi−1+xi1−xi+xi+11)

当 i=ni=ni=n 时：

∂f∂xn=∂f1xnf2−f1∂f2xnf22=f1xnf2−f1(xn−1+2xn+b)f2(xn−1+xn)(xn+b)f22=f1xnf2−f1f2xn−1+2xn+b(xn−1+xn)(xn+b)=fxn−f(xn−1+xn(xn−1+xn)(xn+xn+1)+xn+b(xn−1+xn)(xn+b))=f(1xn−1xn−1+xn−1xn+b)\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x_n}&=\dfrac{\dfrac{\partial f_1}{x_n}}{f_2}-f_1\dfrac{\dfrac{\partial f_2}{x_n}}{f_2^2}\\ &=\dfrac{\dfrac{f_1}{x_n}}{f_2}-f_1\dfrac{(x_{n-1}+2x_n+b)\dfrac{f_2}{(x_{n-1}+x_{n})(x_n+b)}}{f_2^2}\\ &=\dfrac{f_1}{x_nf_2}-\dfrac{f_1}{f_2}\frac{x_{n-1}+2x_n+b}{(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)}\\ &=\frac{f}{x_n}-f\left(\frac{x_{n-1}+x_n}{(x_{n-1}+x_n)(x_n+x_{n+1})}+\frac{x_n+b}{(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)}\right)\\ &=f(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}+x_n}-\frac{1}{x_n+b}) \end{aligned}∂xn∂f=f2xn∂f1−f1f22xn∂f2=f2xnf1−f1f22(xn−1+2xn+b)(xn−1+xn)(xn+b)f2=xnf2f1−f2f1(xn−1+xn)(xn+b)xn−1+2xn+b=xnf−f((xn−1+xn)(xn+xn+1)xn−1+xn+(xn−1+xn)(xn+b)xn+b)=f(xn1−xn−1+xn1−xn+b1)

所以，
Df=f[−1a+x1+1x1−1x1+x2−1x1+x2+1x2−1x2+x3⋮−1xn−1+xn+1xn−1xn+b]{\rm D}f=f\begin{bmatrix} -\frac{1}{a+x_1}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}\\[5pt] -\frac{1}{x_{1}+x_2}+\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_2+x_{3}}\\[5pt] \vdots\\[5pt] -\frac{1}{x_{n-1}+x_n}+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+b} \end{bmatrix}Df=f⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−a+x11+x11−x1+x21−x1+x21+x21−x2+x31⋮−xn−1+xn1+xn1−xn+b1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

二、求驻点

令 Df=0{\rm D}f=0Df=0

Df=f[−1a+x1+1x1−1x1+x2−1x1+x2+1x2−1x2+x3⋮−1xn−1+xn+1xn−1xn+b]=0{\rm D}f=f\begin{bmatrix} -\frac{1}{a+x_1}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}\\[5pt] -\frac{1}{x_{1}+x_2}+\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_2+x_{3}}\\[5pt] \vdots\\[5pt] -\frac{1}{x_{n-1}+x_n}+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+b} \end{bmatrix}=0Df=f⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−a+x11+x11−x1+x21−x1+x21+x21−x2+x31⋮−xn−1+xn1+xn1−xn+b1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=0

得到：

−1a+x1+1x1−1x1+x2=0−1x1+x2+1x2−1x2+x3=0−1x2+x3+1x3−1x3+x4=0⋮−1xn−1+xn+1xn−1xn+b=0-\frac{1}{a+x_1}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}=0\\[5pt] -\frac{1}{x_{1}+x_2}+\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_2+x_{3}}=0\\[5pt] -\frac{1}{x_{2}+x_3}+\frac{1}{x_3}-\frac{1}{x_3+x_{4}}=0\\[5pt] \vdots\\[5pt] -\frac{1}{x_{n-1}+x_n}+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+b}=0 −a+x11+x11−x1+x21=0−x1+x21+x21−x2+x31=0−x2+x31+x31−x3+x41=0⋮−xn−1+xn1+xn1−xn+b1=0

整理得到：

x2x1=x1ax3x2=x2x1⋮⋮xnxn−1=xn−1xi−2bxn=xnxn−1\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{a}\\[5pt] \frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1}\\[5pt] \vdots\\[5pt] \vdots\\[5pt] \frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{x_{n-1}}{x_{i-2}}\\[5pt] \frac{b}{x_n}=\frac{x_n}{x_{n-1}} x1x2=ax1x2x3=x1x2⋮⋮xn−1xn=xi−2xn−1xnb=xn−1xn

不难看出，{xn}\{x_n\}{xn} 是一个等比数列

xn=kna,k=a−1n+1b1n+1x_n=k^na,\qquad k=a^{-\frac{1}{n+1}}b^\frac{1}{n+1}xn=kna,k=a−n+11bn+11

记

X≜(x1,x2,⋯,xn)\mathbb{X}\triangleq(x_1,x_2,\cdots,x_n)X≜(x1,x2,⋯,xn)

三、计算驻点处函数值

f∣X=ka⋅k2a⋯kna(a+ka)(ka+k2a)⋯(kna+kn+1a)=k1+2+⋯+nank1+2+⋯+nan+1(1+k)n+1=1a(1+k)n+1\begin{aligned} f|_\mathbb{X}&=\dfrac{ka\cdot k^2a\cdots k^na}{(a+ka)(ka+k^2a)\cdots(k^na+k^{n+1}a)}\\[10pt] &=\frac{k^{1+2+\cdots+n}a^n}{k^{1+2+\cdots+n}a^{n+1}(1+k)^{n+1}}\\[10pt] &=\frac{1}{a(1+k)^{n+1}} \end{aligned}f∣X=(a+ka)(ka+k2a)⋯(kna+kn+1a)ka⋅k2a⋯kna=k1+2+⋯+nan+1(1+k)n+1k1+2+⋯+nan=a(1+k)n+11

四、计算驻点处黑塞（Hessian）矩阵

计算

∂2f∂xi∂xj\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}∂xi∂xj∂2f

因为是对称矩阵，所以无需考虑 i>ji>ji>j 的情况

当 i=1i=1i=1 时：
\qquad当 j=1j=1j=1 时：
∂2f∂x12=∂∂x1∂f∂x1=∂∂x1[f(1x1−1x1+x2−1a+x1)]=f1(1x1−1x1+x2−1a+x1)+f(−1x12+1(x1+x2)2+1(a+x1)2\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}&=\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ &=\frac{\partial}{\partial x_1}[f(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{a+x_1})]\\ &=f_1(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{a+x_1})+f(-\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2}+\frac{1}{(a+x_1)^2} \end{aligned}∂x12∂2f=∂x1∂∂x1∂f=∂x1∂[f(x11−x1+x21−a+x11)]=f1(x11−x1+x21−a+x11)+f(−x121+(x1+x2)21+(a+x1)21

f1(1x1−1x1+x2−1a+x1)∣X=0f_1(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{a+x_1})|_{\mathbb{X}}=0f1(x11−x1+x21−a+x11)∣X=0

f(−1x12+1(x1+x2)2+1(a+x1)2)∣X=1a1(1+k)n+1(1x12)(−1+1(1+x2x1)2+1(1+ax1)2)=1(1+k)n+11ax12(x12(x1+a)2+a2(x1+a)2−1)=−1(1+k)n+12x1(x1+a)2\begin{aligned} f(-\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2}+\frac{1}{(a+x_1)^2})|_{\mathbb{X}}&=\frac{1}{a}\frac{1}{(1+k)^{n+1}}(\frac{1}{x_1^2})(-1+\frac{1}{(1+\frac{x_2}{x_1})^2}+\frac{1}{(1+\frac{a}{x_1})^2})\\[10pt] &=\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\frac{1}{ax_1^2}(\frac{x_1^2}{(x_1+a)^2}+\frac{a^2}{(x_1+a)^2}-1)\\[10pt] &=-\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\frac{2}{x_1(x_1+a)^2} \end{aligned}f(−x121+(x1+x2)21+(a+x1)21)∣X=a1(1+k)n+11(x121)(−1+(1+x1x2)21+(1+x1a)21)=(1+k)n+11ax121((x1+a)2x12+(x1+a)2a2−1)=−(1+k)n+11x1(x1+a)22

\qquad 当 j=2j=2j=2 时：
∂2f∂x1∂x2=∂∂x2∂f∂x1=∂∂x2[f(1x1−1x1+x2−1a+x1)]=f2(1x1−1x1+x2−1a+x1)+f1(x1+x2)2\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}&=\frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ &=\frac{\partial}{\partial x_2}[f(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{a+x_1})]\\ &=f_2(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{a+x_1})+f\frac{1}{(x_1+x_2)^2} \end{aligned}∂x1∂x2∂2f=∂x2∂∂x1∂f=∂x2∂[f(x11−x1+x21−a+x11)]=f2(x11−x1+x21−a+x11)+f(x1+x2)21

∂2f∂x1∂x2∣X=0+1a1(1+k)n+11(x1+x2)2=1a(x1+x2)21(1+k)n+1\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}|_\mathbb{X}&=0+\frac{1}{a}\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\frac{1}{(x_1+x_2)^2}\\[10pt] &=\frac{1}{a(x_1+x_2)^2}\frac{1}{(1+k)^{n+1}} \end{aligned}∂x1∂x2∂2f∣X=0+a1(1+k)n+11(x1+x2)21=a(x1+x2)21(1+k)n+11

\qquad 当 j=3,4,⋯,nj=3,4,\cdots,nj=3,4,⋯,n

∂2f∂xi∂xj=0\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=0∂xi∂xj∂2f=0

当 i=2,3,⋯,n−1i=2,3,\cdots,n-1i=2,3,⋯,n−1

\qquad 当 j=ij=ij=i

∂2f∂xi2=∂∂xi∂f∂xi=∂∂xi[f(1xi−1xi−1+xi−1xi+xi+1)]=fi(1xi−1xi−1+xi−1xi+xi+1)+f(−1xi2+1(xi−1+xi)2+1(xi+xi+1)2)\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}&=\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_i}\\ &=\frac{\partial}{\partial x_i}[f(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_{i-1}+x_i}-\frac{1}{x_i+x_{i+1}})]\\ &=f_i(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_{i-1}+x_i}-\frac{1}{x_i+x_{i+1}})+f(-\frac{1}{x_i^2}+\frac{1}{(x_{i-1}+x_i)^2}+\frac{1}{(x_i+x_{i+1})^2}) \end{aligned}∂xi2∂2f=∂xi∂∂xi∂f=∂xi∂[f(xi1−xi−1+xi1−xi+xi+11)]=fi(xi1−xi−1+xi1−xi+xi+11)+f(−xi21+(xi−1+xi)21+(xi+xi+1)21)

fi(1xi−1xi−1+xi−1xi+xi+1)∣X=0f_i(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_{i-1}+x_i}-\frac{1}{x_i+x_{i+1}})|_\mathbb{X}=0fi(xi1−xi−1+xi1−xi+xi+11)∣X=0

f(−1xi2+1(xi−1+xi)2+1(xi+xi+1)2)∣X=1a1(1+k)n+11xi2(−1+1(1+xi−1xi)2+1(1+xi+1xi)2)=1axi21(1+k)n+1−2ax1(a+x1)2=−2x1xi2(a+x1)21(1+k)n+1\begin{aligned} f(-\frac{1}{x_i^2}+\frac{1}{(x_{i-1}+x_i)^2}+\frac{1}{(x_i+x_{i+1})^2})|_\mathbb{X}&=\frac{1}{a}\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\frac{1}{x_i^2}(-1+\frac{1}{(1+\frac{x_{i-1}}{x_i})^2}+\frac{1}{(1+\frac{x_{i+1}}{x_{i}})^2})\\[10pt] &=\frac{1}{ax_i^2}\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\frac{-2ax_1}{(a+x_1)^2}\\[10pt] &=\frac{-2x_1}{x_i^2(a+x_1)^2}\frac{1}{(1+k)^{n+1}} \end{aligned}f(−xi21+(xi−1+xi)21+(xi+xi+1)21)∣X=a1(1+k)n+11xi21(−1+(1+xixi−1)21+(1+xixi+1)21)=axi21(1+k)n+11(a+x1)2−2ax1=xi2(a+x1)2−2x1(1+k)n+11

\qquad 当 j=i+1j=i+1j=i+1 时

∂2f∂xi+1∂xi=∂∂xi+1∂f∂xi=∂∂xi+1[f(1xi−1xi−1+xi−1xi+xi+1)]=fi+1(1xi−1xi−1+xi−1xi+xi+1)+f1(xi+xi+1)2\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_{i+1}\partial x_i}&=\frac{\partial}{\partial x_{i+1}}\frac{\partial f}{\partial x_i}\\ &=\frac{\partial}{\partial x_{i+1}}[f(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_{i-1}+x_i}-\frac{1}{x_i+x_{i+1}})]\\ &=f_{i+1}(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_{i-1}+x_i}-\frac{1}{x_i+x_{i+1}})+f\frac{1}{(x_i+x_{i+1})^2} \end{aligned}∂xi+1∂xi∂2f=∂xi+1∂∂xi∂f=∂xi+1∂[f(xi1−xi−1+xi1−xi+xi+11)]=fi+1(xi1−xi−1+xi1−xi+xi+11)+f(xi+xi+1)21

∂2f∂xi+1∂xi∣X=0+1a1(1+k)n+11(xi+xi+1)2=1a(xi+xi+1)21(1+k)n+1\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_{i+_1}\partial x_i}|_\mathbb{X}&=0+\frac{1}{a}\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\frac{1}{(x_i+x_{i+1})^2}\\[10pt] &=\frac{1}{a(x_i+x_{i+1})^2}\frac{1}{(1+k)^{n+1}} \end{aligned}∂xi+1∂xi∂2f∣X=0+a1(1+k)n+11(xi+xi+1)21=a(xi+xi+1)21(1+k)n+11

\qquad 当 j=i+2,i+3,⋯,nj=i+2,i+3,\cdots,nj=i+2,i+3,⋯,n

∂2f∂xi∂xj=0\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=0∂xi∂xj∂2f=0

当 i=j=ni=j=ni=j=n 时：

∂2f∂xn2=∂∂xn∂f∂xn=∂∂xn[f(1xn−1xn−1+xn−1xn+b)]=fn(1xn−1xn−1+xn−1xn+b)+f(−1xn2+1(xn−1+xn)2+1(xn+b)2)\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2}&=\frac{\partial}{\partial x_n}\frac{\partial f}{\partial x_n}\\ &=\frac{\partial}{\partial x_n}[f(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}+x_n}-\frac{1}{x_n+b})]\\ &=f_n(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}+x_n}-\frac{1}{x_n+b})+f(-\frac{1}{x_n^2}+\frac{1}{(x_{n-1}+x_n)^2}+\frac{1}{(x_n+b)^2}) \end{aligned}∂xn2∂2f=∂xn∂∂xn∂f=∂xn∂[f(xn1−xn−1+xn1−xn+b1)]=fn(xn1−xn−1+xn1−xn+b1)+f(−xn21+(xn−1+xn)21+(xn+b)21)

fn(1xn−1xn−1+xi−1xn+b)∣X=0f_n(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}+x_i}-\frac{1}{x_n+b})|_\mathbb{X}=0fn(xn1−xn−1+xi1−xn+b1)∣X=0

f(−1xn2+1(xn−1+xn)2+1(xn+b)2)∣X=1a1(1+k)n+11xn2(−1+1(1+xn−1xn)2+1(1+bxn)2)=1axn2−2ax1(a+x1)21(1+k)n+1=−2x1xn2(a+x1)21(1+k)n+1\begin{aligned} f(-\frac{1}{x_n^2}+\frac{1}{(x_{n-1}+x_n)^2}+\frac{1}{(x_n+b)^2})|_\mathbb{X}&=\frac{1}{a}\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\frac{1}{x_n^2}(-1+\frac{1}{(1+\frac{x_{n-1}}{x_n})^2}+\frac{1}{(1+\frac{b}{x_{n}})^2})\\[10pt] &=\frac{1}{ax_n^2}\frac{-2ax_1}{(a+x_1)^2}\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\\[10pt] &=\frac{-2x_1}{x_n^2(a+x_1)^2}\frac{1}{(1+k)^{n+1}} \end{aligned}f(−xn21+(xn−1+xn)21+(xn+b)21)∣X=a1(1+k)n+11xn21(−1+(1+xnxn−1)21+(1+xnb)21)=axn21(a+x1)2−2ax1(1+k)n+11=xn2(a+x1)2−2x1(1+k)n+11

综上，

Hessf=1(1+k)n+1[−2x1x12(a+x1)21a(x1+x2)20⋯01a(x1+x2)2−2x1x22(a+x1)21a(x2+x3)2⋯001a(x2+x3)2−2x1x32(a+x1)2⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯−2x1xn2(a+x1)2]n×n{\rm Hess}f=\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\begin{bmatrix} \frac{-2x_1}{x_1^2(a+x_1)^2} & \frac{1}{a(x_1+x_2)^2} & 0&\cdots &0\\[20pt] \frac{1}{a(x_1+x_2)^2} & \frac{-2x_1}{x_2^2(a+x_1)^2} &\frac{1}{a(x_2+x_{3})^2}&\cdots&0\\[20pt] 0&\frac{1}{a(x_2+x_{3})^2}& \frac{-2x_1}{x_3^2(a+x_1)^2} &\cdots&0\\[20pt] \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\[20pt] 0&0&0&\cdots&\frac{-2x_1}{x_n^2(a+x_1)^2} \end{bmatrix}_{n\times n}Hessf=(1+k)n+11⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x12(a+x1)2−2x1a(x1+x2)210⋮0a(x1+x2)21x22(a+x1)2−2x1a(x2+x3)21⋮00a(x2+x3)21x32(a+x1)2−2x1⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮xn2(a+x1)2−2x1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤n×n

五、证明驻点处黑塞（Hessian）矩阵为负定矩阵

考虑到 {xn}\{x_n\}{xn} 是等比数列，则 xn≜knax_n\triangleq k^naxn≜kna

Hess{\rm Hess}Hess 矩阵可以改写成：

Hessf=1(1+k)n+1[−2a3k(1+k)21a3k2(1+k)20⋯01a3k2(1+k)2−2a3k3(1+k)21a3k4(1+k)2⋯001a3k4(1+k)2−2a3k5(1+k)2⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯−2a3k2n−1(1+k)2]n×n{\rm Hess}f=\frac{1}{(1+k)^{n+1}}\begin{bmatrix} \frac{-2}{a^3k(1+k)^2} & \frac{1}{a^3k^2(1+k)^2} & 0&\cdots &0\\[20pt] \frac{1}{a^3k^2(1+k)^2} & \frac{-2}{a^3k^3(1+k)^2} &\frac{1}{a^3k^4(1+k)^2}&\cdots&0\\[20pt] 0&\frac{1}{a^3k^4(1+k)^2}& \frac{-2}{a^3k^5(1+k)^2} &\cdots&0\\[20pt] \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\[20pt] 0&0&0&\cdots&\frac{-2}{a^3k^{2n-1}(1+k)^2} \end{bmatrix}_{n\times n}Hessf=(1+k)n+11⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a3k(1+k)2−2a3k2(1+k)210⋮0a3k2(1+k)21a3k3(1+k)2−2a3k4(1+k)21⋮00a3k4(1+k)21a3k5(1+k)2−2⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮a3k2n−1(1+k)2−2⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤n×n

因此，只需证明下列矩阵 AAA 是正定的

A=[−2k10⋯0k2−2k1⋯00k2−2k⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯−2k]n×nA=\begin{bmatrix} -2k & 1 & 0&\cdots &0\\[10pt] k^2 & -2k &1&\cdots&0\\[10pt] 0&k^2&-2k &\cdots&0\\[10pt] \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\[10pt] 0&0&0&\cdots&-2k \end{bmatrix}_{n\times n}A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−2kk20⋮01−2kk2⋮001−2k⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮−2k⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤n×n

设矩阵

Dn=[−2k10⋯0k2−2k1⋯00k2−2k⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯−2k]n×nD_n=\begin{bmatrix} -2k & 1 & 0&\cdots &0\\[10pt] k^2 & -2k &1&\cdots&0\\[10pt] 0&k^2&-2k &\cdots&0\\[10pt] \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\[10pt] 0&0&0&\cdots&-2k \end{bmatrix}_{n\times n}Dn=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−2kk20⋮01−2kk2⋮001−2k⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮−2k⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤n×n

假设 ∣Dn∣=(−1)n(n+1)kn|D_n|=(-1)^n(n+1)k^n∣Dn∣=(−1)n(n+1)kn

当 n=1n=1n=1 时,满足上式

假设 n⩽pn\leqslant pn⩽p 时,满足上式,则

Dp=[−2k10⋯0k2−2k1⋯00k2−2k⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯−2k]p×p=−2kDp−1+k2Dp−2=(−1)p(p+1)kp\begin{aligned} D_p&=\begin{bmatrix} -2k & 1 & 0&\cdots &0\\[10pt] k^2 & -2k &1&\cdots&0\\[10pt] 0&k^2&-2k &\cdots&0\\[10pt] \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\[10pt] 0&0&0&\cdots&-2k \end{bmatrix}_{p\times p}\\[10pt] &=-2kD_{p-1}+k^2D_{p-2}\\ &=(-1)^p(p+1)k^p \end{aligned}Dp=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−2kk20⋮01−2kk2⋮001−2k⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮−2k⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤p×p=−2kDp−1+k2Dp−2=(−1)p(p+1)kp

满足上式

所以矩阵 AAA 的奇数主子式大于零，偶数主子式小于零，所以 AAA 是负定矩阵，所以 Hessf{\rm Hess}fHessf 是负定矩阵

结论

综上所述，fff 在 (ka,k2a,⋯,kna)(ka,k^2a,\cdots,k^na)(ka,k2a,⋯,kna) 处取得最小值 a/2a/2a/2 ，其中 k=a−1n+1b1n+1k=a^{-\frac{1}{n+1}}b^\frac{1}{n+1}k=a−n+11bn+11

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