高等数学一：函数与极限二：对数列极限定义的理解

试着去理解数列极限的定义，这个定义如下（摘自同济版高等数学第七版）：

设Xn为一个数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数k（无论它多小），总存在正整数N，使得当n>N时候，不等式

|Xn-a|<k都成立，那么称常数a为该数列的极限。

探讨这个问题：

数列的一般项是否无限接近于某个确定的值？

以下面这个数列为例子：

2，1/2，4/3......，（n+(-1)^(n-1))/n

预备知识：

1.判定两个数a，b之间的接近程度，可以用 |a-b| 来度量。结果越小，则距离越近。

2.看该数列的一般项：

(n+(-1)^(n-1))/n = n/n+((-1)^(n-1))/n ;(通过对分子的拆开得出) = 1+((-1)^(n-1))/n;

当n无限大的时候，明显看出，该式子无限接近于1，因为后面那项无限接近0。我们也得出，该数列的一般项，无限接近的数值就是1了。

我们试着去了解无限接近有多接近。于是我们用预备知识中的1去验证去度量。我们定数列的n项目为Xn；

可得出，数列的一般项与该数列的一般项无限接近的度量可以定义为：|a-b| = |Xn-1|；

可得出：|Xn-1| = |1+((-1)^(n-1))/n - 1| = |((-1)^(n-1))/n| = |1/n|；

由此可见：当n无限大的时候，1/n的绝对值无限接近0，就是无限小。意味这一般项和1是无限接近的。

这个1就可以称为数列的极限。对应着上面的定义中的常数a。

我们再看看定义中的 k 和 N 在哪儿得到体现。

|1/n| ，即|Xn-1| ，当n无限大的时候，该式子的结果，肯定小于任意给定的正数。这儿就是定义中，任意小的正数k的体现。

个人感觉N，是一个特殊化的现象，上面的描述是一般化的现象。

如果我们想确定一个具体的任意小的正数k，那么n就不可以理解为一个任意大的数列下标了。必须有一个确定的N作为边界。

这样来理解，|1/n| = k 这个时候的n，就是这个确定的N，是一个边界。

当n > N 的时候，|1/n|必然小于k。反之大于。则N得到了体现。

这样一来，这个定义的所有内容，就都能够得到理解。

如果我们从几何角度来理解这个定义。

|Xn-a|<K

可以知道，Xn到a的直线距离小于K。

则当n大于作为边界的N的时候。这个式子才能成立，同时，所有的大于边界N的数列项，都落在了a的两侧距离为k的地方。

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