函数与极限

1 函数与映射

1) 理解函数的根本原理--映射的一种情况，实数集到实数集的映射

2) 映射法则，也就是函数法则，自变量与应变量之间的法则

3) 函数的特点：

a) 有界性难度最大，需要构造不等式

b) 单调性 利用单调性证明不等式

c) 奇偶性

d) 周期性注意周期变化，对应的函数是等价的

2 数列极限

1) 定义：数列{Xn}在A的去心邻域中（Xn元素随着n的增大，而增大），存在N，N为正整数，当n > N时，对于任何一个e > 0，满足

Xn- A < e A为常数

A就是这个数列的极限

也就是数列中所有的元素，随着n下标的增大，越来越接近A

2) 结合几何模型理解

3 函数极限

1) 趋向于有限值的函数极限，定义：函数在某去心邻域((a -r,a + r))中有定义，当存在r > 0，对于所有的e> 0，在区间(a - r,a + r)上，满足

f(x)- A < e A为常数

则称A为f(x)在(a - r,a + r)上的极限

2) 趋向于无穷大的函数极限，定义：函数大于某一【正数X】有定义（函数区间为(X,无穷大)），对于所有的e > 0，当|x| > X时（函数有定义）满足

|f(x) - A |< e A为常数

3) 函数极限是基于函数模型，也就是一个二维的变化过程，自变量为变化动力，应变量反映变化现象->逐渐趋向于某个确切的数值 A

i. 自变量为变化动力：也就意味着，求函数极限，必须要明确函数定义域，并且函数在定义域上有定义

4) 数列极限是基于数列模型，也就是一个一维的变化过程，变化动力是下标n，数据项反映变化现象->逐渐趋向于某个确切的数值 A

i. 变化动力是下标n：也就意味着，会有一个下标N作为分界点，下标 >N 的数据项的数值与极限A 越靠近

4 极限的存在准则两个重要的极限

1) 夹逼准则

难点在于如何构造不等式两端， 1*最大项 < < 项数*最大项

2) 有界单调数列

i. 证明有界 -> 构造不等式难点

ii. 单调：一般情况下不需要使用求导公式，而是简单的前项 - 后项前项/后项即可判定单调性

3) 重要极限

a) 或

i. 是型的极限

ii. = 前提是满足型的极限

iii. = 前提是满足型的极限

iv. 难点在，构造型的极限的极限

b) = 1

5 极限的运算法则

1) 有穷个无穷小相加 = 无穷小

2) 无穷小 * 有界量 = 无穷小（0）经常用到，求极限运算时

3) 极限存在这是个大前提使用极限运算法则时应该是验证

a) 减法也满足

c) b

6 无穷小无穷大

1) 无穷小、无穷大都是一个变过的过程，而不是一个确切的数值

2) 无穷小可以用0表示

3) 在函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是 f(x) = A + a，a是无穷小

7 泰勒公式 *****

1) 泰勒公式：将某个函数，分解成由指数函数构成的多项式

2) 目的是求近似值，就意味着总是有误差的，没有精确的值。泰勒公式展开向越多，数值越精确

3) 泰勒公式用于求近似值 与无穷小/大近似值不谋而合，在求极限中，

时，都可以用泰勒公式。（注意前提，不满足的话，就要配）

4) 无穷小替换原理就是泰勒公式的变形

a) 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

b) 带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

只是一个符号，代表比n更高阶的项

5) 无穷下替换背公式

7 无穷小与无穷大的比较

1) 高阶无穷小 0

a) = 0 ，记作

2) 低阶无穷小

a) = ，也称为极限不存在

3) 同阶无穷小

a) = c

4) 等价无穷小

a) =1 记作 ~

8 函数的连续性与间断点

1) 连续性

a) 则函数在点连续

i. 极限必须存在

ii. 在处有定义

iii. “=” 成立

b) 判断函数是否连续就从这三个条件依次判断，是否间断也是如此，只要一个条件不满足，就间断

c) 左连续

i. 函数在区间（在该区间上连续）的右端点连续

d) 右连续

i. 函数在区间（在该区间上连续）的左端点连续

2) 间断点

a) 一般存在于

i. 分母为0的点

ii. 函数无定义的点

b) 第一类间断点：间断点的左右极限都存在

i. 可去间断点

存在，但是无定义或，但左右极限相等

c) 第二类间断点：除了第一类间断点就是第二类间断点

i. 无穷间断点

ii. 跳跃间断点

9 连续函数的运算与初等函数的连续性

1) 连续函数

a) 函数连续，那么该函数的反函数也连续，单调性也是一致的

b) 两个函数在点连续，那么他们的和、差、积、商都是连续的

c) 组成复合函数的子函数连续，那么复合函数也是连续的

2) 初等函数的连续性

a) 基本初等函数在其定义域中是连续的

b) 一切初等函数在其定义区间是连续的

i. 定义区间是包含在定义域中的

10 洛必达法则 *****

1) 作用于型的，如果不是这两种类型，则需要构造

a) 条件

i. 时，函数f(X) g(X) 都趋于0 不是

ii. 在点a的去心邻域，都存在，且不是在某个点有定义

iii. 存在，或为

c) 不存在，但是仍然可能存在

3) 用洛必达法则求极限

a) 首先检查极限是否为未定型

b) 求导后，代数式更复杂了，应该化简原式

c) 多次求导后，代数式和原式相同，应该化简原式

d) 转为，参数指数化

e) 转为，

i. 通分

ii. 倒代换，再通分

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高等数学-《函数与极限》总结笔记

函数与极限

1 函数与映射

2 数列极限

3 函数极限

4 极限的存在准则两个重要的极限

5 极限的运算法则

6 无穷小无穷大

7 泰勒公式 *****

7 无穷小与无穷大的比较

8 函数的连续性与间断点

9 连续函数的运算与初等函数的连续性

10 洛必达法则 *****

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