背景

我们都知道，正弦信号和复指数信号是信号处理中非常重要的2大工具。
正弦序列定义为：
x(n)=Acos(wn+φ)x(n)=Acos(wn+\varphi) x(n)=Acos(wn+φ)
其中，A是幅度，w是数字频率，φ\varphiφ为初始相位。

复指数序列定义为
x(n)=Ae(α+jw)nx(n)=Ae^{(\alpha+jw)n} x(n)=Ae(α+jw)n
其中，A为幅度，w为数字频率。

理解

设有一个正弦波
x(t)=Asin(Ωt)x(t)=Asin(\Omega t) x(t)=Asin(Ωt)
，A为幅度，Ω\OmegaΩ为模拟角频率，单位为弧度/秒(rad/s)，t是连续时间，单位为秒。正弦波的周期为T，它的倒数为模拟频率，简称频率 f=1Tf=\frac{1}{T}f=T1,f的单位是赫兹。

角频率与频率的关系是 Ω=2πf\Omega =2 \pi fΩ=2πf

接下来，我们以采样周期TsT_{s}Ts（单位为s）对正弦波取样，每秒的采样次数fs=1Tsf_{s}=\frac{1}{T_{s}}fs=Ts1，称为采样频率，单位为赫兹。由于离散时间取样点为t=nTst=nT_{s}t=nTs（n为整数），所以取样后得到的正弦序列为
x(n)=x(nTs)=Asin(ΩTsn)x(n)=x(nT_{s})=Asin(\Omega T_{s}n) x(n)=x(nTs)=Asin(ΩTsn)
注意，这个时候自变量由时间t变为了采样点n。这也是离散时间信号和连续时间信号之间的主要区别。将上式中的ΩTs\Omega T_{s}ΩTs取出，便得到了我们常说的数字频率w。
w=ΩTsw=\Omega T_{s} w=ΩTs
于是，将前面的式子简化为
x(n)=Asin(wn)x(n)=Asin(wn) x(n)=Asin(wn)
对比可以看出，正弦序列表达式中的w和正弦波表达式中的Ω\OmegaΩ，他们的位置和作用类似。因此将Ω\OmegaΩ称为模拟频率，也可以叫做模拟角频率，单位为rad/s。而w的单位是rad，Ωt\Omega tΩt和wn的最后单位都是rad。

我们再将关系式Ω=2πf\Omega =2 \pi fΩ=2πf和f=1Tsf=\frac{1}{T_{s}}f=Ts1代入，可以得到数字频率的另外一种表达形式。
w=2πffsw=2 \pi \frac{f}{f_{s}} w=2πfsf
上式说明，数字频率是一个与采样频率fsf_{s}fs有关的频率度量，即数字频率是模拟频率fff用取样频率归一化后的弧度数。因此，对一个正弦波进行取样，使用的取样频率不同，所得到的正弦序列也不同。

我们再换种思路理解，fsf_{s}fs表示每秒对正弦波取样的点数，f表示正弦波每秒周期性重复的次数（周期数）。因而fs/ff_{s}/ffs/f表示正弦波每个周期内取样点的数目。因此，得到数字频率w的终极含义：每相邻两个取样点的相位所差的弧度数。数字频率w由正弦波的频率f（或角频率Ω\OmegaΩ）和采样频率fsf_{s}fs共同决定。

参考资料

1、《数字信号处理》姚天任

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