数字角频率和模拟角频率和物理频率和归一化角频率的关系，及FFT频率和实际物理频率的关系分析

4种频率及其数量关系

实际物理频率表示AD采集物理信号的频率，fs为采样频率，由奈奎斯特采样定理可以知道，fs必须≥信号最高频率的2倍才不会发生信号混叠，因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。

Ω角频率是物理频率f的2*pi倍，这个也称模拟频率。

归一化频率是将物理频率按fs归一化之后的结果，最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5，这也就是为什么在matlab的fdtool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。

圆周频率是归一化频率的2*pi倍，这个也称数字频率ω。

Ω=2πf；
ω=ΩT=Ω/fs=2πf/fs=2π Ω/Ωs

有关FFT频率与实际物理频率的分析

做n个点的FFT，表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析，n点FFT变换的结果仍为n个点。

换句话说，就是将2pi数字频率w分成n份，而整个数字频率w的范围覆盖了从0-2pi*fs的模拟频率范围。这里的fs是采样频率。而我们通常只关心0-pi中的频谱，因为根据奈科斯特定律，只有f=fs/2范围内的信号才是被采样到的有效信号。那么，在w的范围内，得到的频谱肯定是关于n/2对称的。

举例说，如果做了16个点的FFT分析，你原来的模拟信号的最高频率f=32kHz，采样频率是64kHz，n的范围是0,1,2…15。这时，64kHz的模拟频率被分成了16分，每一份是4kHz，这个叫频率分辨率。那么在横坐标中，n=1时对应的f是4kHz, n=2对应的是8kHz, n=15时对应的是60kHz，你的频谱是关于n=8对称的。你只需要关心n=0到7以内的频谱就足够了，因为，原来信号的最高模拟频率是32kHz。

这里可以有两个结论。

第一，必须知道原来信号的采样频率fs是多少，才可以知道每个n对应的实际频率是多少，第k个点的实际频率的计算为f(k)=k*(fs/n)
第二，你64kHz做了16个点FFT之后，因为频率分辨率是4kHz，如果原来的信号在5kHz或者63kHz有分量，你在频谱上是看不见的，这就表示你越想频谱画得逼真，就必须取越多的点数来做FFT，n就越大，你在时域上就必须取更长的信号样本来做分析。但是无论如何，由于离散采样的原理，你不可能完全准确地画出原来连续时间信号的真实频谱，只能无限接近（就是n无限大的时候），这个就叫做频率泄露。在采样频率fs不变得情况下，频率泄漏可以通过取更多的点来改善，也可以通过做FFT前加窗来改善，这就是另外一个话题了。

用DFT进行谱分析的误差问题

DFT可用来对连续信号和数字信号进行谱分析，在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，就会引发误差，下面介可能产生误差的三种现象。
（1）混叠现象。对连续信号进行谱分析是，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用DFT(FFT)进行谱分析。采样速率Fs必须满足奈奎斯特采样定理，否则会在Fs/2附近发生频谱混叠现象。
（2）栅栏效应（栅栏现象，也称栅栏效应，对一函数实行采样，即是抽取采样点上的对应的函数值。其效果如同透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象均被栅栏挡住而视为零，这种现象称为栅栏效应。）。N点DFT是在频率区间[0，2π]上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱是看不到的。就像上文中举的例子，原来信号可能会在5KHz出有频谱的分量，但我们的频率分辨率只有8KHz，这就导致我们无法观察在5KHz的分量。要想观察，我们就必须提高频率分辨率。对于有限长序列，可以在原序列尾部补零；对于无限长序列，可以增大截取长度及DFT变换区间长度，从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。对于连续信号的谱分析，只要采样速率Fs足够高，且采样点数满足频率分辨率要求，就可以认为DFT后所得离散谱的包络近似代表原信号的频谱。
（3）截断效应。实际中遇到的序列x(n)可能无限长的，用DFT进行谱分析时，必须将其截断，形成有限长序列。而截断后序列的频谱必将发生变化。主要有两个方面：
①泄露：原来的序列的频谱是离散谱线，经截断后，使原来的离散谱线向附近展宽。通常称这种展宽为泄露。泄露使频谱变模糊，频率分辨率降低。
②谱间干扰。

离散信号傅里叶变换的周期性讨论

要分析这个，我们先从Laplace变换与Z变换之间的关系谈起。

由，得z平面与s平面的关系图

图中的关系有以下几点：

s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上
s平面的负半轴映射到z平面的单位圆内
s平面的正半轴映射到z平面的单位圆外
Laplace变换是用于连续信号的变换，相对应的z变换是应用到z平面的变换。因此从另一个角度，上面谈到的角频率（模拟频率）对应的是s平面，圆周频率对应的是z平面（也是为什么称为圆周频率的原因）。

现在我们来看一下s平面虚轴上模拟频率的变换将会导致z平面单位圆上如何变化：

当模拟频率在s平面的虚轴上从0变到fs 时，数字频率在z平面单位圆上从0变到2 pi。
当模拟频率在s平面的虚轴上从2fs变到4fs时，数字频率在z平面单位圆上仍然从0变到2 pi。
。。。。。。z平面如此循环重复
我们知道离散信号的傅里叶变换对应到单位圆上的z变换，因此上面的结论就验证了为什么离散信号的傅里叶变换是周期性：根本原因所是单位圆上的周期性。

考虑到我们实际应用中可选择一个周期，这也能够解释：因为实际信号的频率总是在fs/2以下，这就对应到z平面单位圆上的0~pi，在一个周期范围内就可以进行信号分析了。