Python 动画没有秘密

背景介绍：
Sugar 上次写过一篇《MATLAB 动画没有秘密》，这次是其姐妹篇：Python 动画也没有秘密。
但这个妹篇比姐姐要成熟很多，不仅说了如何用 Python 绘图、做动画，还由浅入深丰富了更多的知识内容。
想知道丰富了什么就请往下看吧！

Python 基本绘图

在做动画之前，先用下面的例子来看下 Python 是怎样绘图的：

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animationx = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y = np.sin(x)fig = plt.figure(tight_layout=True)
plt.plot(x,y)
plt.grid(ls="--")
plt.show()

Sugar 在 Thonny IDE 下的效果是这样的：

【解读】
1、linspace() 函数与 MATLAB 的同名函数作用相同，可以参考《MATLAB 动画没有秘密》；
2、tight_layout = True 是让绘图自动紧凑布局，以免文字遮挡图线，详细请参考《matplotlib 进阶之Tight Layout guide》
3、ls="--" 这个 ls 指的是 linestyle，指定图线的线型（与 MATLAB 非常类似），详细请参考《matplotlib绘图线条样式和线条颜色》、《Python可视化中Matplotlib(线条的详细样式及线型、保存图片、plot的详细风格和样式)、背景色、点和线的详细设置》

需要注意的是本例的 ls="--" 设定提网格线型，这一点 Sugar 觉得比 MATLAB 要灵活。

Python 基本动画

试一试下面的例子：

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animationdef update_points(num):'''更新数据点'''point_ani.set_data(x[num], y[num])return point_ani,x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y = np.sin(x)fig = plt.figure(tight_layout=True)
plt.plot(x,y)
point_ani, = plt.plot(x[0], y[0], "ro")
plt.grid(ls="--")
# 开始制作动画
ani = animation.FuncAnimation(fig, update_points, np.arange(0, 100), interval=100, blit=True)# ani.save('sin_test2.gif', writer='imagemagick', fps=10)
plt.show()

效果:

【解读】

弹球建模

MATLAB 的弹球建模见《matlab三个简单物理建模实例（笔记）》

Sugar 把《matlab三个简单物理建模实例（笔记）》对译成一份 Python 版，通过对比会发现 matplotlib 与 MATLAB 很相似，非常的易学。

一、自由落体建模

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as pltg=9.8    # 重力加速度
v=0      # 设定初始速度条件
s=[0]    # 设定初始位移条件
t=[0]    # 设定起始时间
dt=0.1   # 设置计算步长
N=20     # 设置仿真递推次数. 仿真时间等于N与dt的乘积
for k in range(0,N):v=v+g*dt                    # 计算新时刻的速度s.append(s[k]+v*dt)         # 新位移t.append(t[k]+dt)           # 时间更新# 理论计算, 以便与仿真结果对照
t_theory=np.arange(0, N*dt, 0.01)       # 设置解析计算的时间点
v_theory=g*t_theory                     # 解析计算的瞬时速度
s_theory=1/2*g*(t_theory**2)            # 解析计算的瞬时位移# 作图: 仿真结果与解析结果对比
t=np.arange(0,N*dt+0.01,dt)
p1,p2 = plt.plot(t,s,'o', t_theory,s_theory, '-')
plt.legend([p1, p2], ["仿真结果", "理论结果"], loc='upper left', prop={'family':'SimHei','size':15})
plt.show()

效果:

改进一下：

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as pltg=9.8    # 重力加速度
v=[0]    # 设定初始速度条件
s=[0]    # 设定初始位移条件
t=[0]    # 设定起始时间
dt=0.1   # 设置计算步长
N=20     # 设置仿真递推次数. 仿真时间等于N与dt的乘积
for k in range(0,N):v.append(v[k]+g*dt)                    # 计算新时刻的速度s.append(s[k]+v[len(v)-1]*dt)         # 新位移t.append(t[k]+dt)           # 时间更新# 理论计算, 以便与仿真结果对照
t_theory=np.arange(0, N*dt, 0.01)       # 设置解析计算的时间点
v_theory=g*t_theory                     # 解析计算的瞬时速度
s_theory=1/2*g*(t_theory**2)            # 解析计算的瞬时位移# 作图: 仿真结果与解析结果对比
t=np.arange(0,N*dt+0.01,dt)
plt.subplot(1,2,1)
p1,p2 = plt.plot(t,s,'o', t_theory,s_theory, '-')
plt.legend([p1, p2], ["位移仿真结果", "位移理论结果"], loc='upper left', prop={'family':'SimHei','size':15})
plt.subplot(1,2,2)
p3,p4 = plt.plot(t,v,'o', t_theory,v_theory, '-')
plt.legend([p3, p4], ["速度仿真结果", "速度理论结果"], loc='upper left', prop={'family':'SimHei','size':15})
plt.show()

效果：

这里仔细思考一下“位移的仿真结果为什么会在理论结果之上”，这个问题的答案就是离散采样的误差来源之一。如果想明白了，那么就能做出下面这个效果：

知道了离散采样的误差来源，就能想办法消除相应的误差，那么就会达到下图的效果：

看到这里就能理解：为什么在控制上总是倾向于更高速的处理器。以上两图的代码可以在 MultiMCU EDU 公众号后台回复 py01 获得，如果读者动脑想了，不妨与 Sugar 的代码对比一下是不是一样。

二、弹球建模

理解了上面的自由落体仿真，下面就用动画形式展示一下小球自由落体触地之后的情况。为使模型简单方便理解，需做出如下假设：

1、忽略空气阻力；
2、落点为光滑水平面，触地立即反弹；
3、固定撞击损耗（每撞击一次速度降为原来的 85%）。

下面先来看一下效果：

然后给出 Python 代码，如下：

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animationdef update_points_pos(num):ani_pos.set_data(x[num], y[num])return ani_pos,def update_points_vel(num):ani_vel.set_data(x[num], v[num])return ani_vel,g=9.8      # 重力加速度
v0=0       # 初始速度
y0=1       # 初始位置
m=1        # 小球质量
t0=0       # 起始时间
K=0.85     # 弹跳的损耗系数
N=1100     # 仿真的总步进数
dt=0.005   # 仿真步长
v=[v0]     # 初状态
y=[y0]
vx=2       # 水平速度
x=[0]      # 水平方向的初始位置for k in range(1,N): if y[len(y)-1]>0:      # 小球在空中的动力方程计算v.append(v[len(v)-1] - g*dt)y.append(y[len(y)-1] + v[len(v)-1]*dt)else:        # 碰击瞬间的计算y.append(-K*v[len(v)-1]*dt)  v.append(-K*v[len(v)-1]-g*dt)   x.append(x[len(x)-1] + vx*dt)fig1 = plt.figure(tight_layout=True)
plt.plot(x,y,"--")
ani_pos, = plt.plot(x[0], y[0], "ro")
plt.axis([-2, 13, 0, 1])fig2 = plt.figure(tight_layout=True)
plt.plot(x,v,"--")
ani_vel, = plt.plot(x[0], v[0], "ro")
plt.axis([-2, 13, -6, 6])ani01 = animation.FuncAnimation(fig1, update_points_pos, np.arange(0, N), interval=15, blit=True)
ani02 = animation.FuncAnimation(fig2, update_points_vel, np.arange(0, N), interval=15, blit=True)plt.show()

三、Zeno 行为

弹球是展示 Zeno 现象的最简单模型之一。一般来说，Zeno 行为的特征可非正式地表示为某些混合动力系统（Hybrid System）在有限时间间隔内发生无限数量的事件。在弹球模型中，球在失去能量的同时，将以越来越小的时间间隔与地面发生多次碰撞。因此，模型会经历 Zeno 行为。具有 Zeno 行为的模型很难在计算机上进行仿真，但在许多常见的重要工程应用中又时常出现。

Wikipedia 上对于 zeno behavior 的英文描述如下：

英文不太熟的可以看下面这个自动翻译来了解一下这个有趣的现象：

四、MATLAB Simulink 弹球仿真

MATLAB Simulink 的弹球仿真本文不展开，留个链接如下：

https://ww2.mathworks.cn/help/simulink/slref/simulation-of-a-bouncing-ball.html

不展开的原因是理论基础有点高，要了解最常用的积分变换方法之一：拉普拉斯变换。这里给出与弹球仿真相关的两个拉低变换表，以供愿意研究 Simulink 的读者参考。

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