高等数学（第七版）同济大学习题7-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题7-1

1.试说出下列各微分方程的阶数：\begin{aligned}&1. \ 试说出下列各微分方程的阶数：&\end{aligned}1. 试说出下列各微分方程的阶数：

(1)x(y′)2−2yy′+x=0； (2)x2y′′−xy′+y=0；(3)xy′′′+2y′′+x2y=0； (4)(7x−6y)dx+(x+y)dy=0；(5)Ld2Qdt2+RdQdt+QC=0； (6)dρdθ+ρ=sin2θ.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ x(y')^2-2yy'+x=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ x^2y''-xy'+y=0；\\\\ &\ \ (3)\ \ xy'''+2y''+x^2y=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ (7x-6y)dx+(x+y)dy=0；\\\\ &\ \ (5)\ \ L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ \frac{d\rho}{d\theta}+\rho=sin^2\ \theta. & \end{aligned} (1) x(y′)2−2yy′+x=0； (2) x2y′′−xy′+y=0； (3) xy′′′+2y′′+x2y=0； (4) (7x−6y)dx+(x+y)dy=0； (5) Ldt2d2Q+RdtdQ+CQ=0； (6) dθdρ+ρ=sin2 θ.

解：

(1)一阶(2)二阶(3)三阶(4)一阶(5)二阶(6)一阶\begin{aligned} &\ \ (1)\ 一阶\\\\ &\ \ (2)\ 二阶\\\\ &\ \ (3)\ 三阶\\\\ &\ \ (4)\ 一阶\\\\ &\ \ (5)\ 二阶\\\\ &\ \ (6)\ 一阶 & \end{aligned} (1) 一阶 (2) 二阶 (3) 三阶 (4) 一阶 (5) 二阶 (6) 一阶

2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：\begin{aligned}&2. \ 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：&\end{aligned}2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

(1)xy′=2y，y=5x2；(2)y′′+y=0，y=3sinx−4cosx；(3)y′′−2y′+y=0，y=x2ex；(4)y′′−(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0，y=C1eλ1x+C2eλ2x\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ xy'=2y，y=5x^2；\\\\ &\ \ (2)\ \ y''+y=0，y=3sin\ x-4cos\ x；\\\\ &\ \ (3)\ \ y''-2y'+y=0，y=x^2e^x；\\\\ &\ \ (4)\ \ y''-(\lambda_1+\lambda_2)y'+\lambda_1\lambda_2y=0，y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} & \end{aligned} (1) xy′=2y，y=5x2； (2) y′′+y=0，y=3sin x−4cos x； (3) y′′−2y′+y=0，y=x2ex； (4) y′′−(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0，y=C1eλ1x+C2eλ2x

解：

(1)y′=10x，xy′=10x2，2y=10x2，所以，y=5x2是微分方程的解。(2)y′=3cosx+4sinx，y′′=−3sinx+4cosx，y′′+y=−3sinx+4cosx+3sinx−4cosx=0，所以，y=3sinx−4cosx是微分方程的解。(3)y′=2xex+x2ex，y′′=2ex+2xex+2xex+x2ex，y′′−2y′+y=2ex+2xex+2xex+x2ex−4xex−2x2ex+x2ex=2ex≠0，所以，y=x2ex不是微分方程的解。(4)y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x，y′′=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x，y′′−(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x−(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2(C1eλ1x+C2eλ2x)=0所以，y=C1eλ1x+C2eλ2x是微分方程的解。\begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=10x，xy'=10x^2，2y=10x^2，所以，y=5x^2是微分方程的解。\\\\ &\ \ (2)\ y'=3cos\ x+4sin\ x，y''=-3sin\ x+4cos\ x，y''+y=-3sin\ x+4cos\ x+3sin\ x-4cos\ x=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以，y=3sin\ x-4cos\ x是微分方程的解。\\\\ &\ \ (3)\ y'=2xe^x+x^2e^x，y''=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y''-2y'+y=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x-4xe^x-2x^2e^x+x^2e^x=2e^x \neq 0，所以，y=x^2e^x不是微分方程的解。\\\\ &\ \ (4)\ y'=C_1\lambda_1e^{\lambda_1x}+C_2\lambda_2e^{\lambda_2x}，y''=C_1\lambda_1^2e^{\lambda_1x}+C_2\lambda_2^2e^{\lambda_2x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y''-(\lambda_1+\lambda_2)y'+\lambda_1\lambda_2y=C_1\lambda_1^2e^{\lambda_1x}+C_2\lambda_2^2e^{\lambda_2x}-(\lambda_1+\lambda_2)(C_1\lambda_1e^{\lambda_1x}+C_2\lambda_2e^{\lambda_2x})+\lambda_1\lambda_2(C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x})=0\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 所以，y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}是微分方程的解。 & \end{aligned} (1) y′=10x，xy′=10x2，2y=10x2，所以，y=5x2是微分方程的解。 (2) y′=3cos x+4sin x，y′′=−3sin x+4cos x，y′′+y=−3sin x+4cos x+3sin x−4cos x=0，所以，y=3sin x−4cos x是微分方程的解。 (3) y′=2xex+x2ex，y′′=2ex+2xex+2xex+x2ex， y′′−2y′+y=2ex+2xex+2xex+x2ex−4xex−2x2ex+x2ex=2ex=0，所以，y=x2ex不是微分方程的解。 (4) y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x，y′′=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x， y′′−(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x−(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2(C1eλ1x+C2eλ2x)=0 所以，y=C1eλ1x+C2eλ2x是微分方程的解。

3.在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：\begin{aligned}&3. \ 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：&\end{aligned}3. 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：

(1)(x−2y)y′=2x−y，x2−xy+y2=C；(2)(xy−x)y′′+xy′2+yy′−2y′=0，y=ln(xy).\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ (x-2y)y'=2x-y，x^2-xy+y^2=C；\\\\ &\ \ (2)\ \ (xy-x)y''+xy'^2+yy'-2y'=0，y=ln(xy). & \end{aligned} (1) (x−2y)y′=2x−y，x2−xy+y2=C； (2) (xy−x)y′′+xy′2+yy′−2y′=0，y=ln(xy).

解：

(1)方程x2−xy+y2=C两端求导，得2x−(y+xy′)+2yy′=0，即(x−2y)y′=2x−y，所以，x2−xy+y2=C是微分方程的解。(2)方程y=ln(xy)两端对x求导，得y′=y+xy′xy，即(xy−x)y′−y=0，再对上式两端对x求导，得(y+xy′−1)y′+(xy−x)y′′−y′=0，即(xy−x)y′′+xy′2+yy′−2y′=0，所以，y=ln(xy)是微分方程的解。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 方程x^2-xy+y^2=C两端求导，得2x-(y+xy')+2yy'=0，即(x-2y)y'=2x-y，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 所以，x^2-xy+y^2=C是微分方程的解。\\\\ &\ \ (2)\ 方程y=ln(xy)两端对x求导，得y'=\frac{y+xy'}{xy}，即(xy-x)y'-y=0，再对上式两端对x求导，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得(y+xy'-1)y'+(xy-x)y''-y'=0，即(xy-x)y''+xy'^2+yy'-2y'=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 所以，y=ln(xy)是微分方程的解。 & \end{aligned} (1) 方程x2−xy+y2=C两端求导，得2x−(y+xy′)+2yy′=0，即(x−2y)y′=2x−y，所以，x2−xy+y2=C是微分方程的解。 (2) 方程y=ln(xy)两端对x求导，得y′=xyy+xy′，即(xy−x)y′−y=0，再对上式两端对x求导，得(y+xy′−1)y′+(xy−x)y′′−y′=0，即(xy−x)y′′+xy′2+yy′−2y′=0，所以，y=ln(xy)是微分方程的解。

4.在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：\begin{aligned}&4. \ 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：&\end{aligned}4. 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：

(1)x2−y2=C，y∣x=0=5；(2)y=(C1+C2x)e2x，y∣x=0=0，y′∣x=0=1；(3)y=C1sin(x−C2)，y∣x=π=1，y′∣x=π=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ x^2-y^2=C，y|_{x=0}=5；\\\\ &\ \ (2)\ \ y=(C_1+C_2x)e^{2x}，y|_{x=0}=0，y'|_{x=0}=1；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=C_1sin(x-C_2)，y|_{x=\pi}=1，y'|_{x=\pi}=0. & \end{aligned} (1) x2−y2=C，y∣x=0=5； (2) y=(C1+C2x)e2x，y∣x=0=0，y′∣x=0=1； (3) y=C1sin(x−C2)，y∣x=π=1，y′∣x=π=0.

解：

(1)将x=0，y=5代入函数中，得C=−25，即x2−y2=−25(2)由y=(C1+C2x)e2x，得y′=(C2+2C1+2C2x)e2x，将x=0，y=0及y′=1代入函数，得C1=0，2C1+C2=1，即C1=0，C2=1，y=xe2x.(3)由y=C1sin(x−C2)，得y′=C1cos(x−C2)，将x=π，y=1及y′=0代入函数，得{1=C1sin(π−C2)=C1sinC2， (1)0=C1cos(π−C2)=−C1cosC2， (2)，由(1)2+(2)2得C12=1，取C1=1，由(1)得C2=2kπ+π2，所以，y=sin(x−2kπ−π2)=−cosx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 将x=0，y=5代入函数中，得C=-25，即x^2-y^2=-25\\\\ &\ \ (2)\ 由y=(C_1+C_2x)e^{2x}，得y'=(C_2+2C_1+2C_2x)e^{2x}，将x=0，y=0及y'=1代入函数，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得C_1=0，2C_1+C_2=1，即C_1=0，C_2=1，y=xe^{2x}.\\\\ &\ \ (3)\ 由y=C_1sin(x-C_2)，得y'=C_1cos(x-C_2)，将x=\pi，y=1及y'=0代入函数，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得\begin{cases}1=C_1sin(\pi-C_2)=C_1sin\ C_2，\ \ \ \ \ \ \ (1)\\\\0=C_1cos(\pi-C_2)=-C_1cos\ C_2，\ \ \ \ \ (2)\end{cases}，由(1)^2+(2)^2得C_1^2=1，取C_1=1，由(1)得C_2=2k\pi+\frac{\pi}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以，y=sin\left(x-2k\pi-\frac{\pi}{2}\right)=-cos\ x. & \end{aligned} (1) 将x=0，y=5代入函数中，得C=−25，即x2−y2=−25 (2) 由y=(C1+C2x)e2x，得y′=(C2+2C1+2C2x)e2x，将x=0，y=0及y′=1代入函数，得C1=0，2C1+C2=1，即C1=0，C2=1，y=xe2x. (3) 由y=C1sin(x−C2)，得y′=C1cos(x−C2)，将x=π，y=1及y′=0代入函数，得⎩⎨⎧1=C1sin(π−C2)=C1sin C2， (1)0=C1cos(π−C2)=−C1cos C2， (2)，由(1)2+(2)2得C12=1，取C1=1，由(1)得C2=2kπ+2π，所以，y=sin(x−2kπ−2π)=−cos x.

5.写出由下列条件确定得曲线所满足的微分方程：\begin{aligned}&5. \ 写出由下列条件确定得曲线所满足的微分方程：&\end{aligned}5. 写出由下列条件确定得曲线所满足的微分方程：

(1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 曲线在点(x, \ y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；\\\\ &\ \ (2)\ \ 曲线上点P(x, \ y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。 & \end{aligned} (1) 曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方； (2) 曲线上点P(x, y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。

解：

(1)设曲线方程为y=y(x)，它在点(x,y)处的切线斜率为y′，根据条件，有y′=x2为曲线方程所满足的微分方程。(2)设曲线方程为y=y(x)，因它在点P(x,y)处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为−1y’，根据条件可知PQ之中点位与y轴上，所以点Q的坐标是(−x,0)，于是有y=0x−(−x)=−1y′，即微分方程为yy′+2x=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 设曲线方程为y=y(x)，它在点(x, \ y)处的切线斜率为y'，根据条件，有y'=x^2为曲线方程所满足的微分方程。\\\\ &\ \ (2)\ 设曲线方程为y=y(x)，因它在点P(x, \ y)处的切线斜率为y'，所以该点处法线斜率为-\frac{1}{y’}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 根据条件可知PQ之中点位与y轴上，所以点Q的坐标是(-x, \ 0)，于是有\frac{y=0}{x-(-x)}=-\frac{1}{y'}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即微分方程为yy'+2x=0. & \end{aligned} (1) 设曲线方程为y=y(x)，它在点(x, y)处的切线斜率为y′，根据条件，有y′=x2为曲线方程所满足的微分方程。 (2) 设曲线方程为y=y(x)，因它在点P(x, y)处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为−y’1，根据条件可知PQ之中点位与y轴上，所以点Q的坐标是(−x, 0)，于是有x−(−x)y=0=−y′1，即微分方程为yy′+2x=0.

6.用微分方程表示一物理命题：某种气体的压强p对于温度T的变化率与压强成正比，与温度的平方成反比.\begin{aligned}&6. \ 用微分方程表示一物理命题：某种气体的压强p对于温度T的变化率与压强成正比，与温度的平方成反比.&\end{aligned}6. 用微分方程表示一物理命题：某种气体的压强p对于温度T的变化率与压强成正比，与温度的平方成反比.

解：

因为dPdT与P成正比，与T2成反比，若比例系数为k，则有dPdT=kPT2\begin{aligned} &\ \ 因为\frac{dP}{dT}与P成正比，与T^2成反比，若比例系数为k，则有\frac{dP}{dT}=k\frac{P}{T^2} & \end{aligned} 因为dTdP与P成正比，与T2成反比，若比例系数为k，则有dTdP=kT2P

7.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k>0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，问雪堆全部融化需要多少小时？\begin{aligned}&7. \ 一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k \gt 0。假设在融化过程中雪堆\\\\&\ \ \ \ 始终保持半球体状，已知半径为r_0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的\frac{7}{8}，问雪堆全部融化\\\\&\ \ \ \ 需要多少小时？&\end{aligned}7. 一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k>0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时？

解：

设雪堆在时刻t的体积为V=23πr3，侧面积S=2πr2，根据题意可知dVdt=2πr2drdt=−kS=−2πkr2，得drdt=−k，积分得r=−kt+C，由r∣t=0=r0，得C=r0，r=r0−kt，又因为V∣t=3=18V∣t=0，即23π(r0−3k)3=18⋅23πr03，得k=16r0，从而得r=r0−16r0t，所以，雪堆全部融化时，r=0，得t=6，即雪堆全部融化需6小时.\begin{aligned} &\ \ 设雪堆在时刻t的体积为V=\frac{2}{3}\pi r^3，侧面积S=2\pi r^2，根据题意可知\frac{dV}{dt}=2\pi r^2\frac{dr}{dt}=-kS=-2\pi kr^2，\\\\ &\ \ 得\frac{dr}{dt}=-k，积分得r=-kt+C，由r|_{t=0}=r_0，得C=r_0，r=r_0-kt，又因为V|_{t=3}=\frac{1}{8}V|_{t=0}，\\\\ &\ \ 即\frac{2}{3}\pi(r_0-3k)^3=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\pi r_0^3，得k=\frac{1}{6}r_0，从而得r=r_0-\frac{1}{6}r_0t，所以，雪堆全部融化时，r=0，\\\\ &\ \ 得t=6，即雪堆全部融化需6小时. & \end{aligned} 设雪堆在时刻t的体积为V=32πr3，侧面积S=2πr2，根据题意可知dtdV=2πr2dtdr=−kS=−2πkr2，得dtdr=−k，积分得r=−kt+C，由r∣t=0=r0，得C=r0，r=r0−kt，又因为V∣t=3=81V∣t=0，即32π(r0−3k)3=81⋅32πr03，得k=61r0，从而得r=r0−61r0t，所以，雪堆全部融化时，r=0，得t=6，即雪堆全部融化需6小时.