【SHOI2007】【dp】书柜的尺寸

【题目描述】

Tom不喜欢那种一字长龙式的大书架，他只想要一个小书柜来存放他的系列工具书。Tom打算把书柜放在桌子的后面，这样需要查书的时候就可以不用起身离开了。显然，这种书柜不能太大，Tom希望它的体积越小越好。另外，出于他的审美要求，他只想要一个三层的书柜。为了物尽其用，Tom规定每层必须至少放一本书。现在的问题是，Tom怎么分配他的工具书，才能让木匠造出最小的书柜来呢？ Tom很快意识到这是一个数学问题。每本书都有自己的高度hi和厚度ti。我们需要求的是一个分配方案，也就是要求把所有的书分配在S1、S2和S3三个非空集合里面的一个，不重复也不遗漏，那么，很明显，书柜正面表面积（S）的计算公式就是：

由于书柜的深度是固定的（显然，它应该等于那本最宽的书的长度），所以要求书柜的体积最小就是要求S最小。Tom离答案只有一步之遥了。不过很遗憾，Tom并不擅长于编程，于是他邀请你来帮助他解决这个问题。

【输入】

文件的第一行只有一个整数n（3≤n≤70），代表书本的个数。接下来有n行，每行有两个数hih_ihi和tit_iti，代表每本书的高度和厚度，我们保证150≤hi≤300，5≤ti≤30150≤h_i≤300，5≤t_i≤30150≤hi≤300，5≤ti≤30。

【输出】

只有一行，即输出最小的S。

【思路】

菜鸡博主刚开始的做法：
对于这个题呢，由于tit_iti非常小，所以很自然地想到∑ti\sum t_i∑ti可能会作为dp的某维状态。由于高度不好处理，我们可以将所有的书按高度从大到小排序。这时我首先想到的是，钦定最高的书放第一层，枚举并钦定第二层和第三层最高的书。此时三层最高的书已经确定，即S的计算式的第一项已成为常数。由于当第二三层的∑ti\sum t_i∑ti分别确定时，第一层的∑ti\sum t_i∑ti也可随之确定，故可只定义两维度的f[i][j]=0/1f[i][j]=0/1f[i][j]=0/1表示第二层∑tk=i\sum t_k=i∑tk=i且第三层∑tk=j\sum t_k=j∑tk=j的这个状态能否达到0/10/10/1。剩下的便是一个普普通通的背包dp，把每本书放进满足它不高于钦定最高的书的层当中。可是这个幼稚的想法TLE了，只能获得70-80分。假如至此就没有想法了的话，注意到是最优化问题，我们可以考虑玄学一些，比如计算大致的时间复杂度，假如此时已经快超时了，就直接输出当前最优的结果，实际上这种方法在O2条件下可以把洛谷的所有数据骗过去。（可能还可以用bitset优化转移玄学过去。）
考虑优化：背包dp的维数和转移已经没什么可以优化的了，因此我们考虑优化一下状态定义和枚举最高的书这一步。我们不再枚举最高的书，而是用f[s][i][j]f[s][i][j]f[s][i][j]表示已经考虑前s本书的情况下，第二层∑tk=i\sum t_k=i∑tk=i且第三层∑tk=j\sum t_k=j∑tk=j的这个状态下第二层和第三层最高的书的高之和的最小值。这样我们就可以不枚举某一层是哪本书最高。由于已经按高度排序，故每层书架放入的第一本书即是最高的书，这时候用这本书的h更新一下f的值即可，其他时候只需要f之间相互更新。注意，由于空间限制，需要使用滚动数组优化空间。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define F(i,a,b) for(int re i=a;i<=b;++i)
#define D(i,a,b) for(int re i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int N=2505;
inline int red(){int re data=0,w=1;char re ch=getchar();while(ch!='-' && (ch<'0' || ch>'9'))ch=getchar();if(ch=='-') w=-1,ch=getchar();while(ch>='0' && ch<='9') data=(data<<3)+(data<<1)+(ch^48),ch=getchar();return data*w;
}
int f[2][N][N],h[N],t[N],id[N],mn=2e9,sumt=0,n;
inline bool cmp(int x,int y){return h[x]>h[y];}
inline void cmin(int&x,int y){if(x>y)x=y;}
int main(){n=red();F(i,1,n)h[i]=red(),t[i]=red(),id[i]=i,sumt+=t[i];sort(id+1,id+n+1,cmp);memset(f,127/3,sizeof f);f[1][0][0]=h[id[1]];F(i,2,n){int now=id[i];int las=(i&1)^1;D(j,sumt,0)D(k,sumt-j,0){cmin(f[i&1][j][k+t[now]],f[las][j][k]+h[now]*(!k));cmin(f[i&1][j+t[now]][k],f[las][j][k]+h[now]*(!j));cmin(f[i&1][j][k],f[las][j][k]);}memset(f[las],127/3,sizeof f[las]); }F(i,1,sumt)F(j,1,sumt-i)if(f[n&1][i][j]<=900)cmin(mn,f[n&1][i][j]*max(sumt-i-j,max(i,j)));cout<<mn<<"\n";
}