单源最短路径问题（dijkstra算法）

一、问题描述

给定一个随机带权有向图，每条边的权是一个实数。另外给定图中一个顶点，称为源。计算源到各顶点的最短路径长度（即距离），要求能随机生成图，随机指定源点计算出到顶点的最短距离。

二、解题思路

首先利用邻接矩阵定义一个随机有向图

其次利用迪克斯特拉算法求解源点到各个顶点的最短距离

最后利用回溯递归最短路径

迪克斯特拉算法：是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

三、解题过程

随机生成有向图

随机指定源点

迪克特拉斯算法

首先确定顶点总个数

从源到顶点以及顶点前一个点

找到特殊路径

更新dist值

输出最短路径

四、完整代码如下：

//【贪心算法】单源最短路径问题
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

const int N=5; //顶点个数
const int M=1000;

void Dijkstra(int n, int v, int dist[], int prev[], int c[][N+1])
{
   bool s[N+1];   // 顶点集合s
   //初始化
   for (int i=1;i<=n;i++)
   {
       dist[i]=c[v][i];   // 从源到顶点i的最短特殊路径长度
       s[i]=false;

       if(dist[i]==M)
           prev[i]=0;   // 从源到顶点i的最短路径上前一个顶点
       else
           prev[i]=v;
   }

   dist[v]=0;
   s[v]=true;

   for(int i=1;i<n;i++)//未用到i值,只是控制循环次数。
   {
       int mindist=M;
       int u=v;

       // 找到具有最短特殊路长度的顶点u
       for (int j=1;j<=n;j++)
       {
           if ((!s[j])&&(dist[j]<mindist))//j点不在s集合中，且到源点的距离小于上一个点到源点的距离，就用u记录下该点
           {
               u=j;
               mindist=dist[j];
           }
       }
       s[u]=true;//将u点加入s集合

       // 更新dist值
       for(int j=1;j<=n;j++)//当s集合加入新点的时候需要更新dist[]和prev[]
       {
           if ((!s[j])&&(c[u][j]<M))//j点不在s集合中，且新点与j点相邻
           {
               int newdist=dist[u]+c[u][j];//新点到源点的距离+新点到j点的距离
               if (newdist<dist[j])
               {
                   dist[j]=newdist;
                   prev[j]=u;//新点成了j的前驱点，表示此时从源点到j点经过u距离最短
               }
           }
       }
   }
}

//输出最短路径 v源点，i终点，
void Traceback(int v, int i, int prev[])
{
   // 源点等于终点时，即找出全部路径
   if (v==i)
   {
       printf("%d",i);
       return;
   }
   Traceback(v,prev[i],prev);
   printf("->%d",i);
}
int main()
{

   int dist[N+1];   // 从源到顶点i的最短特殊路径长度
   int   prev[N+1];   // 从源到顶点i的最短路径上前一个顶点
    //随机生成带权有向图
   int i,j,c[N+1][N+1];
   printf("随机生成矩阵:\n");
   for(i=0;i<N+1;i++)
   {
       for(j=0;j<N+1;j++)
       {
           c[i][j]=rand()%5;
           c[0][j]=j;
           c[i][0]=i;
           if(i==j||c[i][j]==0)
           c[i][j]=M;
           printf("%d ",c[i][j]);
       }
       printf("\n");
   }
   //随机指定源点
   int v;
   printf("请输入指定源点：");
   scanf("%d",&v);
   // Dijkstra算法
   Dijkstra(N,v, dist, prev, c);
   for(int i=1; i<=N; i++){
       if(dist[i]!=M)
           {
               printf("源点到顶点%d的最短距离为:%d\n",i,dist[i]);
               printf("路径为：");
               Traceback(v,i, prev);
               printf("\n");
           }
       else
           printf("源点不能到顶点%d\n",i);
   }
   return 0;
}
五、运行结果

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