C语言基本数据结构之三（图的广度及深度遍历，求单源最短路径的Dijkstra算法）

上一篇主要讲了二叉树的先序，中序，后序遍历算法以及深度和节点的算法，这篇就讲一讲图的基本算法。

一、图的基本概念

1.1有向图G1：

有向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的，其中：V(G)是顶点的非空有限集，E(G)是有向边（也称弧）的有限集合，弧是顶点的有序对，记为<v,w>，v,w是顶点，v为弧尾，w为弧头，（v,w)!=(w,v)。

1.2无向图G2：

无向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的，其中：V(G)是顶点的非空有限集，E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对，记为（v,w）或（w,v)，并且（v,w)=(w,v)。

二、图的存储结构(以无向图G1为例)

2.1邻接矩阵（关联矩阵、关系矩阵）

特点：由上述可知，无向图或网络的邻接矩阵是对称的。并且，该法比较简单，用一个二维数组就可存储。
缺点：浪费空间，可用处理“稀疏”矩阵的方式去处理。

2.2邻接表G1

邻接表是图的一种链式存储结构。在邻接表中，对图中的每个结点建立一个单链表。第i个单链表中的结点表示依附于顶点Vi的边（有向图中指以Vi为尾的弧）.

在边少的情况下，用邻接表比邻接矩阵节省存储空间。

三、图的遍历

3.1深度优先遍历

从图的某一顶点V0出发，访问此顶点；然后依次从V0的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图，直至图中所有和V0相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶点作起点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问为止。

上图遍历结果为：V1 --> V2 --> V4 --> V8 --> V5 --> V3 --> V6 --> V7

3.2广度优先遍历

从图的某一顶点V0出发，访问此顶点后，依次访问V0的各个未曾访问过的邻接点；然后分别从这些邻接点出发，广度优先遍历图，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶点作起点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问为止。

上图遍历结果为：V1 --> V2 --> V3 --> V4 --> V5 --> V6 --> V7 --> V8

四、迪杰斯特拉算法求单源最短路径（Dijkstra）

算法描述；

1）设A[1..n,1..n]为有向图的带权邻接矩阵，A[i,j]表示弧(Vi,Vj)上的权值，若(Vi,Vj)不存在，则A[i,j]为无穷大；S 为已找到从源点V0出发的最短路径的终点集合，初始状态为{V0}；DIST[1..n]为个终点当前找到的最短路径长度，初始值为DIST[i]=A[V0,i]；

2）选择u，使DIST[u]=min{DIST[w]|w!∈S,w∈V}, S=S∪{u},其中，V为有向图的顶点集合；

3）对于所有不在S中终点w，若 DIST[u]+A[u,w] < DIST[w], 则修改DIST[w]为 DIST[w]=DIST[u]+A[u,w]；

4）重复操作2）、3）共n-1次，由此可求得从V0到各终点的最短路径。

五、代码分析

把基本概念讲解后，我们来看看代码的实现，注释都比较清楚，我就不一一讲解了

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#define MAX 1000//表示两顶点间无连接
#define VN 5//顶点数
typedef struct GLink GLink;
/*
初始化邻接矩阵（图）
*/
int G[VN][VN] = {0,9,6,3,MAX,9,0,4,5,MAX,6,4,0,MAX,7,3,5,MAX,0,8,MAX,MAX,7,8,MAX};
/*
邻接表的node
*/
struct GLink{int adjvex;//下标int weight;//权值GLink *next;//邻接表node的下一个顶点
};
GLink *GL[VN];/*存储所有的顶点*/
int visit[VN];/*存储已经遍历的顶点*//*
将上面的邻接矩阵转化为邻接表
*/
void createGLink(int G[VN][VN]){int i,j;GLink *q,*p;for(i = 0;i<VN;i++){GL[i] = q =NULL;for(j = 0;j < VN ;j++){if((i != j) && ( G[i][j] > 0) && (G[i][j] < MAX)){  //存在有效路径p = (GLink * ) malloc(sizeof( GLink));p->adjvex = j;/*获取顶点的下标*/    p->weight = G[i][j];/*获取顶点的权值*/if(NULL==GL[i])GL[i] = p;elseq->next = p;q = p;}}q->next = NULL;}
}
/*
深度遍历优先
*/
void DFS(GLink *G[VN],int v){GLink *p;p = G[v];printf("[ %d ]  ",(v+1));visit[v] = 1;while(NULL != p){//printf("第 %d 个顶点 到第 %d 个顶点的权值为: %d \n",(v+1),(p->adjvex + 1),p->weight);if ((visit[p->adjvex] != 1)){DFS(G,p->adjvex);}p = p->next;}//printf(" 第 %d 个顶点完成遍历\n ",(v+1));
}
/*
广度遍历优先
*/
void BFS(GLink *G[VN],int v){int i,n = 0;//n 是获取队列中的顶点GLink *p;int Q[VN];//存放已经访问过的顶点//初始化队列for(i = 0;i < VN;i++){Q[i] = MAX;}visit[v] = 1;Q[0] = v;int k = 1;//当前队列中的顶点数printf("[ %d ]  ",(v+1));while((k<VN) && (n<i)){p = G[Q[n]];//找到当前顶点边表链表头指针n++;while(NULL != p){//printf("第 %d 个顶点 到第 %d 个顶点的权值为: %d \n",(v+1),(p->adjvex + 1),p->weight);if(visit[p->adjvex] != 1){printf("[ %d ]  ",(p->adjvex+1));//将访问过的顶点入队Q[k] = p->adjvex; //修改为访问过visit[p->adjvex] = 1;k++;}p = p->next;}}
}
/*
根据Dijkstra算法求出单元最短路径   v是起始点
*/
void Short(int G[VN][VN],int v){int Dist[VN];//两点之间的最短距离int Path[VN];//存储的路径int final[VN];//已经找到的最短路径顶点int i ,j ;//外部和内部循环/*存储v顶点到其他顶点之间的距离，默认为这两点之间的最短距离*/for(i = 0; i < VN ; i++){final[i] = 0;//将final初始化，表示没有一个顶点找到了最短路径Dist[i] = G[v][i];//存储距离if(Dist[i] < MAX)Path[i] = v;//v点到i点的路径有效，存储该路径v}final[v] = 1;//标记为最短路径int min,k;for(i = 0;i < VN;i++){min = MAX;//获取最短路径k = v;//获取距离v点最短的顶点for(j = 0;j < VN ; j++){//v -> i 如果存在有效路径，并且小于当前的最小距离if( (final[i] != 1) && (Dist[i] < min) &&(Dist[i] != 0 )){k = i;min = Dist[i];}}final[k] = 1;//k点离v点最近,将k 点保存在final中/*在v点到j点路径上，如果存在该点k ，使得v->k->j的距离小于v->j 的距离*/for(j = 0;j < VN ; j++){if((final[j] != 1) && (Dist[k] + G[k][j] < Dist[j] )){Dist[j] = Dist[k] + G[k][j];Path[j] = k;//存储该k点}}}/*打印出v点到其他顶点的最短路径及距离*/for(i = 0 ;i < VN ; i++){if(final[i]!=0){k = i;while( k != v){printf(" %d <- ",k); k = Path[k];}printf(" %d ",v);printf(" \nshortPath is %d \n\n",Dist[i]);}elseprintf(" the Vertex %d no shortPah \n ",i);}
}
void main(){int i ;for(i = 0 ;i < VN;i++){GL[i] = NULL;}i =0;createGLink(G);printf("深度优先遍历\n ");DFS(GL,0);for(i = 0;i < VN ;i ++){visit[i] = 0;}printf("\n\n\n广度优先遍历\n");BFS(GL,0);printf(" \n\n\n最短路径算法\n");Short(G,1);
}

V1Þ V2ÞV3Þ V4ÞV5ÞV6ÞV7ÞV8