一,概念

单源最短路径

给定一个带权有向图G=(V,E)，其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

dijkstra算法简介

迪杰斯特拉算法(Dijkstra),是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

需要注意的是，dijkstra算法只能解决正权图问题，而要解决负权图，则需要另外一种办法SPFA算法，但是SPFA算法我还不熟，本次只讲dijkstra算法

二.分析dijkstra思想

假设有这么一个图

现在我们要求1到各个顶点的最短路径

1->1间的最短路径不用想了，肯定是0

1->2之间的最短路径很明显只有一条1->2，距离为2

1->3之间，有两条路径，一条是1->3，一条是1->2->3，因为1->3之间的距离为5，而1->2->3的距离为4，所以1->3的最短路径为4

1->4之间有三条路径，分别是1->2->4, 1->4, 1->3->4，而三条路线中，最短的那条线为1->2->4，距离为3

至此所有的最短路径就都求出来了

看完是不是发现dijkstra算法的思想也不是那么难呢？原理都知道了那么我们该怎么编写代码？

三.dijkstra的编写

dijkstra的步骤如下

初始化dis[start]=0

找出一个与start点距离dis最小的未确定最短路径的点x，标记它为已经确定的点

遍历所有以x为起点的边得到(x, y, d),如果dis[y] > dis[x] + d, 则更新dis[y] = dis[x] + d

重复2，3步直到所有的点都被标记为确定最短路径的点

dijkstra算法为什么正确？

当所有的边长为非负数的时候，全局最小值不可能被被其他结点更新，所以我们在第二步中从源点出发找dis值最小的值必然是与源点的最短路径，然后在不断的选择全局最小值来拓展，得到的最短路径必然正确

我们看下面这个图

我们一开始先将源点1加入已经确定的点(红点)，然后将所有相连的点标记为待处理的点(绿点)，更新每个dis值

然后我们从dis值最小的结点2开始拓展，此时必然为1->2的最短路径，标记点2为红点

然后将与结点2的所有点遍历，更新对应的dis值

从与点2距离最短的4开始拓展，因为此时距离已经最小，所以标记为红点

因为点4没有出边，所以直接跳回结点2，此时只有点3为待处理的点

至此源点到所有的点的最短路径都确定了

dijkstra的堆优化

按照上面的方法直接编写的话，时间复杂度会高达O(n^2)，在某些情况可能会不够，那么我们是否有O(nlogn)算法的写法呢？通过观察，这时候我们可以发现，在第2步的查找与start点距离最小的点我们可以优化。那个用什么优化呢？

这时候我们可以使用堆去优化它。

可以定义一个优先队列q，设dis值小的优先级高，这样我们可以用q.top()来通过O(logn)的时间复杂度找到dis值最小的点,而原本查找最小dis值点需要的时间复杂度为O(n)

关于存图

通常来说，在算法比赛我们通常都是用链式前向星法来储存

这里简单说一下，就不扩展了

这是关于边的信息

int head[MAXN<<1];//head[i]表示以i为头结点的边的第一条边所在的位置

struct Edge {//在边(u,v)中

int to;//to就是v

int next;//next就是下一条(u,?)的位置

int dis;//边(u,v)的长度

} e[MAXM<<1];//e[i]：第i条边的信息

这是存边的方式

void addEdge(int u,int v,int d)

{

cnt++;//第cnt条边，初始值为0

e[cnt].dis=d;//第cnt条边的权值

e[cnt].to=v;//第cnt的出边

e[cnt].next=head[u];//下一条边在e数组上的索引

head[u]=cnt;//以u为起点的边，为最后一条存进的在e数组上的索引

}

四.例题

接下来让我们照惯例的写一下模板题来练练手吧，只看不写是永远学不会的!

传送门

描述:有一个邮递员要送东西，邮局在节点 1。他总共要送 n-1 样东西，其目的地分别是节点 2 到节点 n。由于这个城市的交通比较繁忙，因此所有的道路都是单行的，共有 m 条道路。这个邮递员每次只能带一样东西，并且运送每件物品过后必须返回邮局。求送完这 n-1 样东西并且最终回到邮局最少需要的时间。

输入格式

第一行包括两个整数，n 和 m，表示城市的节点数量和道路数量。

第二行到第 (m+1) 行，每行三个整数，u,v,w，表示从 u 到 v 有一条通过时间为 w 的道路。

输出格式

输出仅一行，包含一个整数，为最少需要的时间。

下面是题解

可能有的人一开始看这题目会有点蒙蔽，但其实仔细想想，送一件信我们都是从1->n，然后再从n->1返回吗？这其实不就是先求出1->n的最短路径，然后又求n->1的最短路径吗。所以只是正着来一次dijkstra，反着来一次dijkstra就行了

#include

#include

#include

using namespace std;

const int MAXN = 1000 + 5;

const int MAXM = 100000 + 5;

typedef long long LL;

struct Edge {

int to;

int next;

int dis;

} e[MAXM<<1];

int head[MAXN<<1],vis[MAXN<<1],dis[MAXN<<1];

int n,m,cnt;

void addEdge(int u,int v,int d)

{

cnt++;

e[cnt].dis=d;

e[cnt].to=v;

e[cnt].next=head[u];

head[u]=cnt;

}

//堆优化

struct node {

int dis;

int pos;

bool operator < (const node& x)const {

return x.dis < dis;

}

};

priority_queueq;

//

void dijkstra(int s)//计算1到各点的最短路径

{

memset(vis,0,sizeof(vis));

for(int i=1; i<=n<<1; i++) {

dis[i]=0x3fffffff;

}

dis[s]=0;

q.push({0,s});

while(!q.empty()) {

node temp = q.top();

q.pop();

int x = temp.pos, d = temp.dis;

if(vis[x])continue;

vis[x]=1;

for(int i=head[x]; i; i=e[i].next) {

int y=e[i].to;

if(dis[y]>dis[x]+e[i].dis) {

dis[y]=dis[x]+e[i].dis;

if(!vis[y]) {

q.push({dis[y],y});

}

}

}

}

}

int main()

{

cin>>n>>m;

int u,v,d;

for(int i=1; i<=m; i++) {

scanf("%d %d %d",&u,&v,&d);

addEdge(u,v,d);//1->n

addEdge(v+n,u+n,d);//n->1 //这样不需要开两个数组(

}

LL ans = 0;

dijkstra(1);

for(int i=1;i<=n;i++)ans+=dis[i];

dijkstra(1+n);

for(int i=1+n;i<=n<<1;i++)ans+=dis[i];

printf("%lld\n",ans);

return 0;

}

最后，欢迎提意见哦！觉得有帮助的话就支持一下我吧！