数学建模案例【人口模型 】(马尔萨斯人口模型,Logistic模型)
数学建模案例【人口模型】
(马尔萨斯人口模型,Logistic模型)
(注:参考慕课网课程,非完全原创。)
p(t) 是t时刻的人口数量
问题1:在知道当前或过去某个时刻的人口数量的情况下,预测未来某个时刻的人口数量?
问题2:t趋于无穷时,即在遥远的未来,人口趋势是怎样的?
马尔萨斯人口模型:
问题1:
在短时间发生的变化:p(t+△t)-p(t)=rp(t)△t
p(t+dt)-p(t)=rp(t)dt
由微分方程得: dp(t) / dt =r p(t) ①
p(t0) = p0 ②
有1,2式得;
问题2:
函数模型人口数量是时间变量的指数函数,成指数增长。
Logistic模型:
考虑r的变化:
假设地球最多能够支撑的人口数量为K:
N(t)表示t时间处的人口数量:
求得:
方程曲线描述:
离散化:
取时间的离散步长为1,则:
取定参数k,考虑不同的参数r,作图分析:
静态解
二周期:
四周期:
N(t)—— r
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