数学建模案例之线性规划奶制品的生产与销售 内容: 如何建立线性规划模型举例 线性规划模型的求解方法 要求: 掌握线性规划模型的建立方法 掌握利用数学软件 LINDO 、Matlab等求解线性规 划模型的方法 理解单纯形法的计算步骤 重点、难点: 重点:线性规划模型的建立与软件求解 难点:线性规划问题的理论求解方法—单纯形法 简介 线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法,也是 应用最早的一种最优化方法; 线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变量的线 性函数; 线性规划是学习运筹学的首要课程之一; 1947年,丹茨格(Dantzig)提出了单纯形法,使线性规划的 算法趋于成熟; 在数学上讲,线性规划问题就是研究一类条件极值问题,即 在一组线性约束条件(包括等式及不等式约束)下,找出一个线 性函数的最大值或最小值。 例1:加工奶制品的生产计划 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品,一桶牛奶可 以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时 加工成4公斤A2。根据市场需求,生产的A1、A2全部能够售出,且 每公斤A1获利24元,每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能够得 到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时间为480小时,并 且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限 制。试为该厂制定一个生产计划,使每天获利最大? 并进一步讨论以下三个附加问题: 1)若用35元可以买到一桶牛奶,应否作这项投资?若投 资,每天最多购买多少桶牛奶? 2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的 工资最多是每小时多少元? 3)由于市场需求变化,每公斤A1的获利增加到30元,应否 改变生产计划? 问题分析 企业内部的生产计划有各种不同的情况。 空间层次 工厂级:根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件,以最大利润为目 标制订产品生产计划 车间级:根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等,以最小成本 为目标制订生产批量计划 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化,可制订单阶段生产计 划,否则应制订多阶段生产计划 问题分析 模型构成 引入决策变量 x1 桶牛奶生产 A1, x2 桶牛奶生产 A2 (每天) 目标函数(每天获利) 生产 A1 获利: 24×3x1 生产 A2 获利: 16×4 x2 每天获利总额:z=72x1+64x2 约束条件 原料供应: x1+x2≤50 劳动时间: 12x1+8x2≤480 加工能力: 3x1≤100 非负约束: x1 , x2 ≥0 模型构成 数学模型: 线性规划模型具有的三条性质 LP问题的一般概念 1. LP模型的一般形式 求一组决策变量x1,x2,…,xn的值,使其满足约束条件: 并使目标函数 取得最大(或最小)值,其中 aij,bi,cj为已知量。 LP问题的一般概念 2.标准形式 其中 LP问题的一般概念 3.将一般线性规划模型转化为标准形 例题:将下述LP模型转化成标准形式 解:转化分为目标函数、大于等于约束、小于等于约束和自由约 束变量几个不同部分。 LP问题的一般概念 目标函数 max z=4x1+5x2+7x3-x4 ? min z1=-4x1-5x2-7x3+x4 约束条件 大于等于约束 x1+x2+2x3-x4 ≥1 添加剩余变量 x5 ≥0 ? x1+x2+2x3-x4-x5=1 小于等于约束 2x1-6x2+3x3+x4 ≤-3 添加松弛变量 x6 ≥0 ? -2x1+6x2-3x3-x4-x6=3 自由变量 (无) LP问题的一般概念 化成标准型为: LP问题的一般概念 4.单纯形法 G.B.Dantzig的单纯形法(Simplex method)是一个顶点 迭代算法,即从一个顶点出发,沿着凸多面体的棱迭代到另一个 顶点,使目标函数值下降(至少不升),由顶点个数的有限性, 可以证明经过有限次迭代一定可以求得最优解或者判定该问题无 最优解,这就是单纯形法的基本思想。而几何上一个的顶点对应 在代数上的一个基可行解,因此,单纯形法求解线性规划问题只 需要关心基可行解。 LP问题的一般概念 基本理论参见任何一本运筹学教材上的相关内容,下面仅以 一个例子说明单纯形法的步骤。 利用单纯形法求解下述LP问题。

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