数学建模(2)topsis分析法

TOPSIS法，译为逼近理想解排序法，简称优劣且解距离法（根据学习会发现优解即距离较大的解），是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
当我们用层次分析法来解决问题，发现行不通或者得出的结果不太精确的时候，就可以考虑用TOPSIS法。比如当评价的决策层太多时，n也会很大，容易使判断矩阵和一致矩阵差距较大（平均随机一致性指标RI表格中n≤15），此时再使用层次分析法，就有些不妥当了。那么当决策层中指标数据已知时，如何使结果更准确呢？
举个例子，

（这里要求的评分可以与层次分析法中的权重类比）
那么我们现在对四位同学得成绩排名，得到名次为2431，评分要求越大越好，因此成绩越好的同学排名应越大，所以对排名进行一个修正，修正后的名次为3124，用个人排名÷排名之和得到每人对应的评分。

但我们思考检验发现，当同学们的成绩大小发生改变而四人的排名保持不变的话，得出的总评分依旧不变，由此可见，得出的结果与成绩的相关性太弱。
那我们又想到另一种方法：找出四人中成绩的最高分和最低分，按照公式[（x-min）÷（max-min）]来计算评分，并对评分进行归一化，得到结果如下

到这里有人就会问了，理论上考试的最高成绩不应该是满分，而最低成绩为0吗？
主要原因有三个。第一，比较对象往往多于两个，此时采用第一种方法，只有数据两端的对象会感受到影响；第二，比较的指标往往是多方面的；第三，不是每种指标都有理论最大值和最小值的。因此选择上一种方式计算评分，公式如下图所示。

我们以上讨论的都是只有成绩一个指标时的情况，那么接下来增加指标个数，例题变为下图所示。两个指标分别体现对象的智商和情商。

介绍一个知识点：题中成绩越大越好，是为极大型指标，也称效益型指标；与他人争吵次数越小越好，是为极小型指标，也称成本型指标。
大型指标称为指标正向化，其中极小型变为极大型的公式为（max-x）。
成绩单位为分，吵架单位为次，两个指标量纲不同，要进行处理，为了消除不同量纲带来的影响，就要对已经正向化的矩阵进行标准化处理，任一列的一个数值÷该列数值平方之和的算数平方根，即可消去量纲。其公式如下：

只有成绩一个指标时，评分的公式为[（x-min）÷（max-min）]，经过
得出

类比一个指标计算得分，最大值和最小值分别为一个向量矩阵，从每列中找出最大值和最小值，分别组成矩阵，用Z+，Z-表示。
可以把矩阵看做m维坐标系的向量坐标，类比空间坐标距离公式得到：

根据评分公式
得到得分公式（未归一化），S=D- ÷（D+＋D-），故S属于（0，1），S越大，对象的评价越好。

之后对计算得出的的得分进行归一化，并进行排名，根据排名即可选出对象的优劣程度。
由此可以得出，TOPSIS法的基本步骤为：先将原始数据矩阵统一指标类型(一般正向化处理)得到正向化的矩阵，
再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，
然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。
该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。
下面对该方法步骤详细介绍：
第一步:将原始矩阵正向化
最常见的四种指标:极大型(效益型)指标，越大(多) 越好，例如成绩、GDP增速、企业利润；极小型(成本型)指标，越小(少)越好，例如费用、坏品率、污染程度；中间型指标，越接近某个值越好，例如水质量评估时的PH值；区间型指标，落在某个区间最好例如体温、水中植物性营养物量。
所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。(转换的函数形式可以不唯一哦~ )
极小型指标转换为极大型指标
max -x，如果所有的元素均为正数，那么也可以使用1÷x，不过基本常用第一种转换公式。
中间型指标转换为极大型指标

区间型指标转换为极大型指标（更正：下图中的{xi}为区间型指标序列，此图从ppt中截取，需更改）

第二步：正向化矩阵标准化
标准化是为了消除不同量纲带来的影响，公式之前已经提过，如下。标准化的方法不唯一，故得到的标准化矩阵也不唯一。

第三步：计算得分并归一化
得分的计算公式如下图红字部分，

要注意区别开归一化和标准化。归一化的计算步骤也可以消去量纲的影响，但更多时候，我们进行归一化的目的是为了让我们的结果更容易解释，或者说让我们对结果有一个更加清晰直观的印象。例如将得分归一化后可限制在（0，1）这个区间，对于区间内的每一个得分，我们很容易的得到其所处的比例位置。
注意:这里还没有考虑指标的权重，默认了各指标的权重相等。

带权重的TOPSIS法：
确定权重的方法：层次分析法（主观性太强，不利于数据处理），熵权法（之后的视频会讲到）

接下来看一道练习题

根据题目中的介绍，我们可以得出含氧量属于极大型指标，PH值属于中间型指标，细菌总数属于极小型指标，营养物量属于区间型指标，首先利用公式将这三个指标转换为极大型指标，之后根据公式进行标准化，然后找出各指标的最大值最小值，分别组成向量，根据公式计算得分，并进行归一化，按照排名即可得出水质的优劣，大体思路就是这样了。本讲中出现的一些代码会在之后的视频里详细解释，大家可以去看看。
我本人就是一个0基础的小白，之前从没接触过数学建模，在B站上搜到了清风老师的视频，看了前几讲发现确实自己能够听懂，举的例子也很通俗易懂，如果有像我一样想学习学习建模的，可以来看看哦！那么以上我所学所讲及配图均来自于清风老师
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