数学建模之层次分析法AHP

层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法。

层次分析法的用途

建模比赛的基础模型之一，其主要运用于解决评价类问题，例如：选择哪种方案最好，去哪里旅游最为经济实惠，等等。

举个栗子：韩梅梅高中毕业了，她想去清华和北大，在两所顶级的名校她会如何选择呢？

韩梅梅是个大学霸，所以她希望学习氛围要够好，学习氛围（0.4）
同时，她也希望未来能有个好工作，工作前景（0.3）
再者，她希望找个帅气的男朋友，男女比例（0.2）
最后，做过路过，不能错过的校园景色，校园景色（0.1）

括号里面代表的是韩梅梅心中对于选择学校的重要程度的标准（权重），其和为1。

作为一个高中生的韩梅梅并不知情，所以她选择网上冲浪一下，看看大家对于两所学校的评价。发现了下图：

然后暗暗给两所学校的学习氛围上打了评分，清华：0.6 北大：0.4
然后去看就业率，作为中国最好的两所学府，就业率自然不相上下，清华：0.5 北大：0.5
然后去看男女比例，由于清华的男女比例7:3，而北大的男女比例3:7，所以韩梅梅更向往清华大学，清华：0.7 北大：0.3
最后校园景色，北大和清华都是历史名校，景色自然不在话下，清华：0.5 北大：0.5

清华的最终得分：0.4 * 0.6 + 0.3 * 0.5 + 0.2 * 0.7 + 0.1 * 0.5 = 0.58
北大的最终得分：0.4 * 0.4 + 0.3 * 0.5 + 0.2 * 0.3 + 0.1 * 0.5 = 0.42
所以，最后韩梅梅去了清华

接下来我们再看个凡是讲AHP都会讲到的旅游问题，注意凡是题目中说请你确定评价指标，形成评价体系的问题都是评价类问题

凡是提到评价类问题，我们一定要从三个方面入手：

我们的评价目标是什么？
我们为了达到这个目标有几种可选的方案？
评价的标准或者准则是什么？(根据什么来评定好坏)

再举个栗子：韩梅梅在选好志愿之后，一家三口想出去旅游，目的地暂定为北戴河，桂林，苏杭等三地。确定了五个指标：

景色 2. 花费 3. 居住 4. 饮食 5. 交通

但是由于一次性确定五个指标，难免会因为考虑不周等因素影响导致顾此失彼，所以我们可以两个两个比较，比较十次得出最终权重结果。

通过此表韩梅梅对于五项权重做出如下图：

这个矩阵的意义在于：相比于列指标，行指标的重要性。
这个矩阵就是层次分析法中的：判断矩阵
同样我们也可以通过两两比较的方式，来比较在某一方面，两个地方的权重矩阵。

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	1/2	5
北戴河	2	1	2
桂林	1/5	1/2	1

同样我们可以得到其他四个矩阵

花费	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	1/3	1/8
北戴河	3	1	1/3
桂林	8	3	1

…等等
当然矩阵也会出现矛盾的地方，比如：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	1/2	1
北戴河	2	1	2
桂林	1	1/2	1

我们可以看出，苏杭的景色==桂林的景色，北戴河的景色稍有不如苏杭，但是在第三行我们发现，桂林景色稍有不如北戴河，所以矛盾就产生了，所以桂林到底是比北戴河大还是小？

如何确定一致矩阵？
各行各列之间呈倍数关系
但是在建模过程中建立完全一致的矩阵并不现实，所以我们尽量控制这个范围。

一致性检验

一致性的条件：
1.每一个元素都大于0；
2.对角线上的元素都为1；
3.行与行，列与列成比例，所以秩为一，r(A)=1，特征值为n，其余为0；
若判断矩阵（正互反矩阵）满足aija_ijaij * ajka_jkajk = aika_ikaik，此矩阵为一致矩阵。
引理：n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值 Λmax\Lambda_maxΛmax=n;
当正互反矩阵非一致时，一定有Λmax\Lambda_maxΛmax>n;
下图为正互反矩阵：

我们可以看到元素关于对角线互为倒数。
那么如何来看Λmax\Lambda_maxΛmax 与 n之间的关系呢？
下图是a的选值和Λ\LambdaΛ之间的变化图：

我们可以看到，当a等于4时，Λmax\Lambda_maxΛmax = n，这也就是引理中所说的正互反矩阵此时为一致矩阵，当a != 4时，Λ\LambdaΛ 皆大于 n.。
由图可知，当判断矩阵越不一致时，最大特征值与n的偏差越大。

一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI：

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI:

第三步：计算一致性比例CR：

如果CR小于0.1则认为判断矩阵的一致性可以接受；否则就要对矩阵进行整改。

一致矩阵如何计算权重

首先要进行归一化处理：

归一化函数是一种计算方式,将有量纲的表达式,经过变换,化为无量纲的表达式,成为标量。把需要处理的数据经过处理后(通过某种算法)限制在需要的一定范围内。

从上述栗子中的一致矩阵来看：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	4
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/4	1/2	1

第一列进行归一化处理就是：
苏杭 = 1 / (1+0.5+0.25)
北戴河 = 0.5 / (1+0.5+0.25)
桂林 = 0.25 / (1+0.5+0.25)
由于第二列，第三列都是成比例的，所以进行归一化的结果是一样的。
但是如果使用判断矩阵进行归一化处理：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	5
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/5	1/2	1

此时的结果：
苏杭 = 1 / (1+0.5+0.2) = 0.5882
北戴河 = 0.5 / (1+0.5+0.2) = 0.2941
桂林 = 0.2 / (1+0.5+0.2) = 0.1177
各列之间不存在成比例关系了，所以相应的数值也发生了变化。所以也要根据第二列，第三列算出所有权重。

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	0.5882	0.5714	0.625
北戴河	0.2941	0.2857	0.25
桂林	0.1177	0.1429	0.125

	未归一化权重
苏杭	0.5882 + 0.5714 + 0.625 = 1.7846
北戴河	0.2941 + 0.2857 + 0.25 = 0.8298
桂林	0.1177 + 0.1429 + 0.125 = 0.3856

	权重
苏杭	1.7846/3 = 0.5949
北戴河	0.8298/3 = 0.2766
桂林	0.3856/3 = 0.1286

然后用三组权重进行加权平均,也称为算术平均法求权重。
另外还有两种方法是几何平均法求权重，特征值求权重(比赛中常用)。
特征值求权重方法：一致矩阵只有一个特征值为n，其余特征值为0.当特征值为n时，我们可以发现它所对应的特征向量是：

由于一致矩阵的特性，关于对角线对称的元素互为倒数，所以特征向量可以看作是k倍的第一列向量的转置。
同理我们可以先算出景色，花费，居住，饮食，交通的权重：

然后对其余四个指标对于三地的矩阵，计算相应的权重：

我们可以根据此图计算出：
苏杭的得分：0.5954 * 0.2636 + 0.4758 * 0.0819 + 0.0538 * 0.4286 + 0.0981 * 0.6337 + 0.1087 * 0.1667 = 0.299
同理北戴河得分0.245，桂林得分0.455，相比较而言韩梅梅选择去桂林旅游。

层次分析法

从上述栗子也可以看出，AHP层次分析法就是通过建立地界层次结构，把人类判断转化成若干因素中的两两比较重要性的比较上，从而把难以量化的定性判断转换成可操作的重要度的比较上面。它把复杂的问题分解为多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次关系结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。

层次分析法步骤

第一步：分析系统中各元素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。

只要你在论文中用到了AHP层次分析法，那么层次结构图就一定要放在论文中。
第二步：构造判断矩阵，通过上一层次构造两两比较矩阵。
理论上一致矩阵需要有专家来帮你填写表格，实际上你就是专家，几乎都是自己填写。（所以在论文里不用说谁来填的表格）
如果题目中有相应数据，优先考虑这些数据进行计算，填写要符合实际。
第三步：有判断矩阵计算被比较元素相对于该准则的相对权重，并进行一致性检验。
三种方法计算权重：

算术平均法
几何平均法
特征值法
建议在比赛中，三种方法一起用，三管齐下，进行比较，显得很专业。确保结果的稳健性

层次分析法局限性

评价的决策层不能过多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵的差异会很大。而且平均随即一致性指标RI表格中n最大为15.
如果决策层的指标的数据都是已知的，不需要自己去编写的话，我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？（Topsis）

相关数学建模学习视频请关注b站：数学建模学习交流：清风老师
上述图均来自该视频，老师视频制作不易，（(/ω╲)）最好三连。
哪里写的不对也请指教，告辞~