分段插值/Hermite插值
分段插值/Hermite插值
- 1. 交互控制
- 2. 埃尔米特曲线段
- 2.1 埃尔米特混合函数
- 2.2 艾尔米特导数
曲线和曲面的方法一般都是基于点的----使用多项式，可以很容易的构造通过给定一维数组或二维点网格的参数曲线段(或曲面贴片)。
这些方法的缺点在于它们不是交互式的。如果生成的曲线或曲面不是设计师想要的，那么修改它的唯一方法就是添加点。移动这些点不是一个选项，因为曲线必须经过原始数据点。添加点可以控制曲线的形状，但会降低计算速度。
一个实用的、有用的曲线/曲面设计算法应该是交互式的。它应该提供用户控制的参数，以可预测的、直观的方式修改曲线的形状。Hermite 插值 就是这样一种方法。
埃尔米特插值基于两点 P1P_1P1 和 P2P_2P2 以及两个切向量 P1tP_1^tP1t 和 P2tP_2^tP2t。它计算从 P1P_1P1 开始朝向 P1tP_1^tP1t 到 P2P_2P2 结束朝向 P2tP_2^tP2t 的曲线段。下图显示了几个不同的埃尔米特曲线段，以及它们的端点切向量：
很明显，一个单独的艾尔米特片段可以有许多不同的形状。它甚至可以有一个尖，可以发展成一个循环。然而，一个完整的曲线，通常需要有几个连续的线段，样条方法构造这样的曲线将在之后讨论。
1. 交互控制
艾尔米特插值具有重要的优势：它是互动的。如果艾尔米特曲线段有一个错误的形状，用户可以通过修改切向量来编辑它。
下图显示了如何通过修改矢量的振幅来编辑曲线。图中显示了三条曲线，开始在一个 45°45\degree45° 的方向，最后垂直下降。这里展示的效果很简单，随着起始切线的大小增加，曲线在原方向上继续延长。这种行为意味着段切线产生了一个曲线，改变了它的方向，并开始向终点直线移动。这样的曲线接近于直线段，因此我们得出结论，长切线会产生松曲线，而短曲线会产生紧曲线。
切线的大小(而不仅仅是方向)影响曲线形状的原因是，三维的艾尔米特段是一个三维参量，计算一个三次幂需包含四个系数，每一个都是三个一组，总共有 12 个未知数。两个端点提供了 6 个已知量，两个切线提供了剩下的 6 个量。然而，如果我们只考虑向量的方向而不考虑它的大小，那么向量 (1,0.5,0.3),(2,1,0.6),(4,2,1.2)(1,0.5,0.3),(2,1,0.6),(4,2,1.2)(1,0.5,0.3),(2,1,0.6),(4,2,1.2) 都是相等的。在这种情况下，三个矢量分量中只有两个是独立的，两个矢量只提供四个独立的量。
2. 埃尔米特曲线段
艾尔米特曲线段很容易推导。它是一个有四个系数的三次幂曲线，其系数取决于两端点和两切线。三次曲线的基本方程为：
P(t)=at3+bt2+ct+d=(t3,t2,t,1)(a,b,c,d)T=T(t)A.P(t)=at^3+bt^2+ct+d=(t^3,t^2,t,1)(a,b,c,d)^T=T(t)A. P(t)=at3+bt2+ct+d=(t3,t2,t,1)(a,b,c,d)T=T(t)A.
这是这条曲线的代数表示，其中四个系数仍然未知。一旦这些系数用已知的几何量表示出来，曲线就会以几何形式表示出来。
曲线 P(t)P(t)P(t) 的切向量为导数 dP(t)/dtdP(t)/dtdP(t)/dt，用 Pt(t)P^t(t)Pt(t) 来表示。因此，该曲线的切向量为：
Pt(t)=3at2+2bt+cP^t(t) = 3at^2+2bt+c Pt(t)=3at2+2bt+c
我们用 PPP 来表示两个给定点 P1P_1P1 和 P2P_2P2 以及两个给定的切线 P1tP^t_1P1t 和 P2tP^t_2P2t。方程 P(0)=P1,P(1)=P2,Pt(0)=P1t,Pt(1)=P2tP(0)=P_1, P(1)=P_2, P^{t}(0)= P^t_1, P^{t}(1)= P^t_2P(0)=P1,P(1)=P2,Pt(0)=P1t,Pt(1)=P2t，其显式表示为：
a⋅03+b⋅02+c⋅0+d=P1a⋅13+b⋅12+c⋅1+d=P23a⋅02+2b⋅0+c=P1t3a⋅12+2b⋅1+c=P2t\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot 0^{3}+\mathbf{b} \cdot 0^{2}+\mathbf{c} \cdot 0+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{1} \\ \mathbf{a} \cdot 1^{3}+\mathbf{b} \cdot 1^{2}+\mathbf{c} \cdot 1+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{2} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 0^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{0}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{1}^{t} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 1^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{1}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{2}^{t} \end{aligned} a⋅03+b⋅02+c⋅0+da⋅13+b⋅12+c⋅1+d3a⋅02+2b⋅0+c3a⋅12+2b⋅1+c=P1=P2=P1t=P2t
很容易解得：
a=2P1−2P2+P1t+P2t,b=−3P1+3P2−2P1t−P2t,c=P1t,d=P1.\mathbf{a}=2 \mathbf{P}_{1}-2 \mathbf{P}_{2}+\mathbf{P}_{1}^{t}+\mathbf{P}_{2}^{t}, \quad \mathbf{b}=-3 \mathbf{P}_{1}+3 \mathbf{P}_{2}-2 \mathbf{P}_{1}^{t}-\mathbf{P}_{2}^{t}, \quad \mathbf{c}=\mathbf{P}_{1}^{t}, \quad \mathbf{d}=\mathbf{P}_{1}. a=2P1−2P2+P1t+P2t,b=−3P1+3P2−2P1t−P2t,c=P1t,d=P1.
将这些解带入方程，整理可得：
P(t)=(2P1−2P2+P1t+P2t)t3+(−3P1+3P2−2P1t−P2t)t2+P1tt+P1=(2t3−3t2+1)P1+(−2t3+3t2)P2+(t3−2t2+t)P1t+(t3−t2)P2t=F1(t)P1+F2(t)P2+F3(t)P1t+F4(t)P2t=(F1(t),F2(t),F3(t),F4(t))(P1,P2,P1t,P2t)T=F(t)B\begin{aligned} \mathbf{P}(t)&=\left(2 \mathbf{P}_{1}-2 \mathbf{P}_{2}+\mathbf{P}_{1}^{t}+\mathbf{P}_{2}^{t}\right) t^{3}+\left(-3 \mathbf{P}_{1}+3 \mathbf{P}_{2}-2 \mathbf{P}_{1}^{t}-\mathbf{P}_{2}^{t}\right) t^{2}+\mathbf{P}_{1}^{t} t+\mathbf{P}_{1}\\ &=\left(2 t^{3}-3 t^{2}+1\right) \mathbf{P}_{1}+\left(-2 t^{3}+3 t^{2}\right) \mathbf{P}_{2}+\left(t^{3}-2 t^{2}+t\right) \mathbf{P}_{1}^{t}+\left(t^{3}-t^{2}\right) \mathbf{P}_{2}^{t} \\ &=F_{1}(t) \mathbf{P}_{1}+F_{2}(t) \mathbf{P}_{2}+F_{3}(t) \mathbf{P}_{1}^{t}+F_{4}(t) \mathbf{P}_{2}^{t} \\ &=\left(F_{1}(t), F_{2}(t), F_{3}(t), F_{4}(t)\right)\left(\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \mathbf{P}_{1}^{t}, \mathbf{P}_{2}^{t}\right)^{T} \\ &=\mathbf{F}(t) \mathbf{B} \end{aligned} P(t)=(2P1−2P2+P1t+P2t)t3+(−3P1+3P2−2P1t−P2t)t2+P1tt+P1=(2t3−3t2+1)P1+(−2t3+3t2)P2+(t3−2t2+t)P1t+(t3−t2)P2t=F1(t)P1+F2(t)P2+F3(t)P1t+F4(t)P2t=(F1(t),F2(t),F3(t),F4(t))(P1,P2,P1t,P2t)T=F(t)B
其中，
F1(t)=(2t3−3t2+1),F2(t)=(−2t3+3t2)=1−F1(t),F3(t)=(t3−2t2+t),F4(t)=(t3−t2).\begin{array}{c} F_{1}(t)=\left(2 t^{3}-3 t^{2}+1\right), \quad F_{2}(t)=\left(-2 t^{3}+3 t^{2}\right)=1-F_{1}(t), \\ F_{3}(t)=\left(t^{3}-2 t^{2}+t\right), \quad F_{4}(t)=\left(t^{3}-t^{2}\right). \end{array} F1(t)=(2t3−3t2+1),F2(t)=(−2t3+3t2)=1−F1(t),F3(t)=(t3−2t2+t),F4(t)=(t3−t2).
BBB 为队列 (P1,P2,P1t,P2t)T(P_1, P_2, P^t_1, P^t_2)^T(P1,P2,P1t,P2t)T，F(t)F(t)F(t) 为行 (F1(t),F2(t),F3(t),F4(t))(F_1(t), F_2(t), F_3(t), F_4(t))(F1(t),F2(t),F3(t),F4(t))。
函数 Fi(t)F_i(t)Fi(t) 为 Hermite 混合函数。它们在曲线上创造了四个给定量的混合点，如上图所示。注意 F1(t)+F2(t)=1F_1(t)+F_2(t)=1F1(t)+F2(t)=1。F1(t)F_1(t)F1(t) 和 F2(t)F_2(t)F2(t) 两个函数混合点不是切向量，因此应该是重心函数。我们也可以写成 F1(t)=(t3,t2,t,1)(2,−3,0,1)tF_1(t)=(t^3,t^2,t,1)(2,-3,0,1)^tF1(t)=(t3,t2,t,1)(2,−3,0,1)t，F2(t),F3(t),F4(t)F_2(t),F_3(t),F_4(t)F2(t),F3(t),F4(t) 均有相似表示方式。矩阵表示变为了：
F(t)=(t3,t2,t,1)(2−211−33−2−100101000)=T(t)H\mathbf{F}(t)=\left(t^{3}, t^{2}, t, 1\right)\left(\begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\mathbf{T}(t) \mathbf{H} F(t)=(t3,t2,t,1)⎝⎜⎜⎛2−301−23001−2101−100⎠⎟⎟⎞=T(t)H
曲线现在可以写成：
P(t)=F(t)B=T(t)HB=(t3,t2,t,1)(2−211−33−2−100101000)(P1P2P1tP2t)\mathbf{P}(t)=\mathbf{F}(t) \mathbf{B}=\mathbf{T}(t) \mathbf{H} \mathbf{B}=\left(t^{3}, t^{2}, t, 1\right)\left(\begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} \mathbf{P}_{1} \\ \mathbf{P}_{2} \\ \mathbf{P}_{1}^{t} \\ \mathbf{P}_{2}^{t} \end{array}\right) P(t)=F(t)B=T(t)HB=(t3,t2,t,1)⎝⎜⎜⎛2−301−23001−2101−100⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛P1P2P1tP2t⎠⎟⎟⎞
已知 P(t)=at3+bt2+ct+d=(t3,t2,t,1)(a,b,c,d)T=T(t)AP(t)=at^3+bt^2+ct+d=(t^3,t^2,t,1)(a,b,c,d)^T = T(t)AP(t)=at3+bt2+ct+d=(t3,t2,t,1)(a,b,c,d)T=T(t)A，也就是 A=HbA=HbA=Hb。矩阵 HHH 称为 Hermite 基矩阵。
2.1 埃尔米特混合函数
继续分析上面示例中的四个混合函数，对这些函数的分析对于彻底理解艾尔米特插值方法是必不可少的。
函数 F1(t)F_1(t)F1(t) 为分配给起始点 P1P_1P1 的权重。它从最大值 F1(0)=1F_1(0)=1F1(0)=1 到 F1(0)=0F_1(0)=0F1(0)=0。这说明了为什么当 ttt 值很小时，曲线接近 P1P_1P1 且说明了为什么对于较大的 ttt 值，P1P_1P1 造成的影响很小或者说几乎没有影响。相反的结论对 F2(t)F_2(t)F2(t)(末端点 P2P_2P2 的权重) 也成立。函数 F3(t)F_3(t)F3(t) 有点棘手。它从 0 开始，在 t=1/3t=1/3t=1/3 处有一个最大值，然后慢慢下降到 0。这种行为的解释如下：
- 对于小的 ttt 值，函数 F3(t)F_3(t)F3(t) 几乎没有影响。曲线一直靠近 P1P_1P1 \不管极端的切线或其他的什么。
- 当 ttt 值在 1/31/31/3 左右时，权重 F3(t)F_3(t)F3(t) 对曲线有一定影响。对于这些 ttt 值，权重 F4(t)F_4(t)F4(t) 很小，曲线近似为点 F1(t)P1F_1(t)P_1F1(t)P1(贡献大)，点 F2(t)P2F_2(t)P_2F2(t)P2(贡献小) 和向量 F3(t)P1tF_3(t)P^t_1F3(t)P1t 的和。一个点 P=(x,y)P=(x,y)P=(x,y) 和 一个向量 v=(vx,vy)v=(v_x,v_y)v=(vx,vy) 的和是一个位于 (x+vx,y+vy)(x+v_x,y+v_y)(x+vx,y+vy) 的点，这就是权重 F3(t)F_3(t)F3(t) 如何沿着切向量方向 P1tP_1^tP1t ”拉“曲线。
- 对于较大的 ttt 值，函数 F3(t)F_3(t)F3(t) 再次几乎没有影响。曲线的移动更接近 P2P_2P2 因为权重 F2(t)F_2(t)F2(t) 成为了主导。
函数 F4(t)F_4(t)F4(t) 可作类似解释。它对 ttt 的大小几乎没有影响。它的最大值(实际上是最小值，因为它是负的)出现在 t=2/3t=2/3t=2/3 处，所以它只影响这个区域的曲线。当 ttt 的值接近 2/32/32/3，曲线近似为点 F2(t)P2F_2(t)P_2F2(t)P2(贡献大)，点 F1(t)P1F_1(t)P_1F1(t)P1(贡献小) 和向量 −∣F4(t)∣P2t-|F_4(t)|P^t_2−∣F4(t)∣P2t 的和。因为 F4(t)F_4(t)F4(t) 是负的，这个和等于 (x−vx,y−vy)(x-v_x,y-v_y)(x−vx,y−vy)，这就是曲线接近末端点 P2P_2P2 时向方向 P2tP_2^tP2t 移动的原因。
另一个埃尔米特权重函数的重要特征是，F1(t)F_1(t)F1(t) 和 F2(t)F_2(t)F2(t) 均为重心。它们一定是这样的，因为它们混合了两个点。从前面公式可知为什么是这样的：
a⋅03+b⋅02+c⋅0+d=P1a⋅13+b⋅12+c⋅1+d=P23a⋅02+2b⋅0+c=P1t3a⋅12+2b⋅1+c=P2t\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot 0^{3}+\mathbf{b} \cdot 0^{2}+\mathbf{c} \cdot 0+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{1} \\ \mathbf{a} \cdot 1^{3}+\mathbf{b} \cdot 1^{2}+\mathbf{c} \cdot 1+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{2} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 0^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{0}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{1}^{t} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 1^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{1}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{2}^{t} \end{aligned} a⋅03+b⋅02+c⋅0+da⋅13+b⋅12+c⋅1+d3a⋅02+2b⋅0+c3a⋅12+2b⋅1+c=P1=P2=P1t=P2t
第一个方程就是 d=P1d=P_1d=P1，将第二项减小为了 a+b+c=P2−P1a+b+c=P_2-P_1a+b+c=P2−P1。第三个方程求解 ccc，第四个方程和第二个方程结合，最终被用来计算 aaa 和 bbb。所有这些说明 aaa 和 bbb 的形式是 a=α(P2−P1)+⋅⋅⋅,b=β(P2−P1)+⋅⋅⋅a=\alpha(P_2 - P_1)+\cdot \cdot \cdot, b=\beta(P_2-P_1)+ \cdot \cdot \cdota=α(P2−P1)+⋅⋅⋅,b=β(P2−P1)+⋅⋅⋅。因此最终的曲线有形式：
P(t)=at3+bt2+ct+d=(αP2−αP1+⋅⋅⋅)t3+(βP2−βP1+⋅⋅⋅)t2+(⋅⋅⋅)t+P1P(t)=at^3+bt^2+ct+d=(\alpha P_2-\alpha P_1+\cdot \cdot \cdot)t^3+(\beta P_2-\beta P_1+ \cdot \cdot \cdot)t^2+(\cdot \cdot \cdot)t + P_1P(t)=at3+bt2+ct+d=(αP2−αP1+⋅⋅⋅)t3+(βP2−βP1+⋅⋅⋅)t2+(⋅⋅⋅)t+P1
其中省略号表示只依赖于切向量的部分，而不依赖于端点。当它重新排列时，结果为：
P(t)=(−αt3−βt2+1)P1+(αt3+βt2)P2+(⋅⋅⋅)P1t+(⋅⋅⋅)P2tP(t)=(-\alpha t^3-\beta t^2+1)P_1+(\alpha t^3+\beta t^2)P_2+(\cdot \cdot \cdot)P_1^t + (\cdot \cdot \cdot)P_2^tP(t)=(−αt3−βt2+1)P1+(αt3+βt2)P2+(⋅⋅⋅)P1t+(⋅⋅⋅)P2t
这就是为什么 P1P_1P1 和 P1P_1P1 的系数加起来就是 1。
2.2 艾尔米特导数
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