【数学与算法】【分段三次Hermite插值】和【分段三次样条插值】

`光滑曲线在数学上的定义是什么？？`

原文链接：光滑曲线在数学上的定义是什么?

回答1：
定义:切线随切点的移动而连续转动。

若函数f(x)f(x)f(x)在区间(a,b)(a,b)(a,b)内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线。则为光滑曲线。简言之，若f′(x)f'(x)f′(x)连续，则曲线光滑。

但反之，不成立。比如圆，圆在直角坐标系下，有两条竖直的切线，导数不存在（为∞大）。

回答2：
不敢保证对。但同纠结这个问题，想了许久，有点心得，拿来探讨。希望有缘破解心中迷雾：

1.光滑，从直观上是不突兀，流线的。台阶本质上是折线，因此在转折处感觉尖锐，突兀，是为不光滑。例如y＝丨x丨y＝丨x丨y＝丨x丨在x＝0x＝0x＝0处就很尖锐。y＝x2y＝x^2y＝x2在 x＝0x＝0x＝0处是一段曲线，看上去用手摸了不会扎手。
2.存在切线，就是在一点附近，曲线无限接近于一条直线。曲线被磨平了，只有这样，才不扎手。要求切线随着点连续转动，就是表达曲线不会一下子过度太快，无限接近的两点形状无限接近。

至于判断，先直观想象图像，再证明。

求一次导，相当于把函数的变化过程放大一次。因此严格的光滑定义要求无限阶可导，也就是不管怎么拉大拉平，都是不扎手。

`分段差值：`

分段插值: 通常可能指的是直接分段低次线插, 通俗来说这样出来的线条不是很平滑. 因为在节点上不一定可导.
直接hermite插值就和一楼说的差不多三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑(考虑了二阶倒数)，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；
而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。(S(x)为插值基函数,f为你要插值的函数)

`分段三次埃尔米特插值：`

可以参考：数值分析(4)-多项式插值: 埃尔米塔插值法

Hermite 插值就是要求插值函数不仅经过所给节点，而且要保证在该点的导数也相等。

以3个点为例，想要使用分段3次Hermite 插值求出这三个点的插值函数：
分析一下，每一段三次hermite插值多项式 f(x)=a+b∗x+c∗x2+d∗x3\color{blue}f(x)=a+b*x+c*x^2+d*x^3f(x)=a+b∗x+c∗x2+d∗x3都有4个未知系数需要求解，三个点就是两段，那么就有2*4=8个未知数。8个未知数，就需要联立8元一次方程组，需要8个方程：
S0(x0)=y0S0(x1)=y1S1(x1)=y1S1(x2)=y2S0′(x1)=S1′(x1)：一阶导数值相等\color{blue} S_0(x_0)=y_0 \\ S_0(x_1)=y_1 \\ S_1(x_1)=y_1 \\ S_1(x_2)=y_2\\ S_0'(x_1)=S_1'(x_1) ：一阶导数值相等 S0(x0)=y0S0(x1)=y1S1(x1)=y1S1(x2)=y2S0′(x1)=S1′(x1)：一阶导数值相等
上面有5个方程，还差3个方程，这三个方程从定义中可知，需要知道每个点x0、x1、x2\color{blue}x_0、x_1、x_2x0、x1、x2处的导数。即S0′(x0)、S1′(x1)、S1′(x2)\color{blue}S_0'(x_0)、S_1'(x_1)、S_1'(x_2)S0′(x0)、S1′(x1)、S1′(x2)的导数值必须已知，但是实际工程中是不太可能知道每个点的导数值的。因为，你连原函数都不知道，怎么能知道导数值呢？

总结一下：Hermite插值在实际使用的时候没有多大意义，同时知道点和导数，还假装不知道原函数的情况，不多(PS:都知道导数了有什么计算的必要？)

所以，一般用牛顿，牛顿大法好！

`分段三次样条插值：`

推荐参考【三次样条（cubic spline）插值】
可以参考【数值分析(5)-分段低次插值和样条插值】

三次多项式有两种形式，很自然的，我们会想到第一种，如下：

y=ai+bix+cix2+dix3(1)y=a_i+b_ix+c_ix^2+d_ix^3 \tag{1} y=ai+bix+cix2+dix3(1)
我们还有第二种写法，下面的曲线表达式经过(xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)：
y=ai+bi(x−xi)+ci(x−xi)2+di(x−xi)3(2)y=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3 \tag{2} y=ai+bi(x−xi)+ci(x−xi)2+di(x−xi)3(2)
把上面(2)这个展开后，变成了：
y=(ai−bixi+cixi2−dixi3)+(bi−2cixi+3dixi2)x+(ci−3dixi)x2+dix3y=\color{blue}(a_i-b_ix_i+c_ix_i^2-d_ix_i^3)+\color{red}(b_i-2c_ix_i+3d_ix_i^2)x+\color{green}(c_i-3d_ix_i)x^2+\color{brown}d_ix^3 y=(ai−bixi+cixi2−dixi3)+(bi−2cixi+3dixi2)x+(ci−3dixi)x2+dix3
所以两种形式的写法都对，最终求出来的ai、bi、ci、dia_i、b_i、c_i、d_iai、bi、ci、di虽然是不同的值，但是最终的表达式肯定是一样的。因为第二种写法的ai、bi、ci、dia_i、b_i、c_i、d_iai、bi、ci、di并不是真正的系数，不过第二种写法在推导数学公式时很方便。

有点类似于我们小学时候学的y=kx+by=kx+by=kx+b和y−yi=k(x−xi)y-y_i=k(x-x_i)y−yi=k(x−xi)的样子，都是两种表示方法。

对于分段三次样条插值，就比分段三次hermite多项式插值多了一个条件，即各点的二阶导数相等。还是以三个点为例：
S0(x0)=y0S0(x1)=y1S1(x1)=y1S1(x2)=y2S0′(x1)=S1′(x1)：x1处一阶导数值相等S0′′(x1)=S1′′(x1)：x1处二阶导数相等\color{blue} S_0(x_0)=y_0\\ S_0(x_1)=y_1\\ S_1(x_1)=y_1\\ S_1(x_2)=y_2\\ S_0'(x_1)=S_1'(x_1) ：x_1处一阶导数值相等\\ S_0''(x_1)=S_1''(x_1)：x_1处二阶导数相等 S0(x0)=y0S0(x1)=y1S1(x1)=y1S1(x2)=y2S0′(x1)=S1′(x1)：x1处一阶导数值相等S0′′(x1)=S1′′(x1)：x1处二阶导数相等
然后再利用三类边界条件中的其中一种边界条件，即可以从两个端点x0、x2\color{blue}x_0、x_2x0、x2处再得到两个方程。

`三类边界条件：`

用下面的解释更容易明白：
例如一系列节点 x0、x1、......、xn−1、xn\color{blue}x_0、x_1、......、x_{n-1}、x_nx0、x1、......、xn−1、xn，其中x0、xn\color{blue}x_0、x_nx0、xn是两个端点(也叫边界点)，三类边界条件如下：

自然边界:
两个端点即边界点的二阶导都为0；
S0′′(x0)=0\color{blue}S_0''(x_0)=0S0′′(x0)=0
Sn′′(xn−1)=0\color{blue}S_n''(x_{n-1})=0Sn′′(xn−1)=0。
夹持边界:
由边界点一阶导数给定，例如分别给两个边界点的一阶导数设定为A\color{blue}AA和B\color{blue}BB；
S0′(x0)=A\color{blue}S_0'(x_0)=AS0′(x0)=A
Sn′(xn−1)=B\color{blue}S_n'(x_{n-1})=BSn′(xn−1)=B。
非扭结边界:
使两个边界端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等。那么令
S0′′′(x0)=S0′′′(x1)\color{blue}S_0'''(x_0)=S_0'''(x_1)S0′′′(x0)=S0′′′(x1)
Sn′′′(xn−1)=Sn′′′(xn)\color{blue}S_n'''(x_{n-1})=S_n'''(x_n)Sn′′′(xn−1)=Sn′′′(xn)。